Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

En un centro educativo han preguntado a sus alumnos acerca de alergias alimentarias, resultando que un 10 % es celiaco y un 15 % es alérgico a la lactosa. Además el 20 % tiene alguna de las dos alergias. Si se elige un alumno al azar, calcule las siguientes probabilidades:

a) Que tenga solo una de las dos alergias. [1 punto]

b) Que sea celiaco si sabemos que no es alérgico a la lactosa. [1 punto]

Llamamos $C$ al suceso «el alumno es celiaco» y $L$ al suceso «el alumno es alérgico a la lactosa». Los datos del enunciado son:

$P(C)=0{,}10\qquad P(L)=0{,}15\qquad P(C\cup L)=0{,}20$

De la fórmula de la probabilidad de la unión despejamos la de la intersección, que es la que hace falta en los dos apartados:

$P(C\cup L)=P(C)+P(L)-P(C\cap L)\Rightarrow 0{,}20=0{,}10+0{,}15-P(C\cap L)$

$P(C\cap L)=0{,}05$



$\textbf{a) Que tenga solo una de las dos alergias. [1 punto]}$

Tener solo una es tener alguna pero no las dos a la vez, así que a la unión le restamos la intersección.

$P\left(\text{solo una}\right)=P(C\cup L)-P(C\cap L)=0{,}20-0{,}05=0{,}15$

La probabilidad de que tenga solo una de las dos alergias es $0{,}15$, es decir, un $15\%$.

$\textbf{b) Que sea celiaco si sabemos que no es alérgico a la lactosa. [1 punto]}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que calculamos por su definición.

$P\left(\overline{L}\right)=1-P(L)=1-0{,}15=0{,}85$

$P\left(C\cap\overline{L}\right)=P(C)-P(C\cap L)=0{,}10-0{,}05=0{,}05$

$P\left(C\,|\,\overline{L}\right)=\dfrac{P\left(C\cap\overline{L}\right)}{P\left(\overline{L}\right)}=\dfrac{0{,}05}{0{,}85}=\dfrac{1}{17}\approx 0{,}0588$

Sabiendo que no es alérgico a la lactosa, la probabilidad de que sea celiaco es $\frac{1}{17}\approx 0{,}0588$, es decir, un $5{,}88\%$.