Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Al 80 % de los alumnos de una clase les gusta el fútbol; al 40 % les gusta el balonmano y al 30 % les gustan ambos deportes. Si se elige un alumno al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste solo el fútbol? [0,75 puntos]

c) Si sabemos que no le gusta el fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el balonmano? [0,75 puntos]

Llamamos $F$ al suceso «al alumno le gusta el fútbol» y $B$ al suceso «al alumno le gusta el balonmano». Los datos del enunciado son:

$P(F)=0{,}8\qquad P(B)=0{,}4\qquad P(F\cap B)=0{,}3$

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)? [0,5 puntos]}$

Que le guste alguno de los dos es la unión de los dos sucesos, que no son incompatibles, de modo que aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(F\cup B)=P(F)+P(B)-P(F\cap B)=0{,}8+0{,}4-0{,}3=0{,}9$

La probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes es $0{,}9$, es decir, un $90\%$.

Con este dato queda repartida la probabilidad de las cuatro zonas del espacio muestral:



$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste solo el fútbol? [0,75 puntos]}$

Que le guste solo el fútbol es que le guste el fútbol y no el balonmano, así que a la probabilidad del fútbol le restamos la de la intersección.

$P\left(F\cap\overline{B}\right)=P(F)-P(F\cap B)=0{,}8-0{,}3=0{,}5$

La probabilidad de que le guste solo el fútbol es $0{,}5$, es decir, un $50\%$.

$\textbf{c) Si sabemos que no le gusta el fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el balonmano? [0,75 puntos]}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que calculamos por su definición.

$P\left(\overline{F}\right)=1-P(F)=1-0{,}8=0{,}2$

$P\left(B\cap\overline{F}\right)=P(B)-P(F\cap B)=0{,}4-0{,}3=0{,}1$

$P\left(B\,|\,\overline{F}\right)=\dfrac{P\left(B\cap\overline{F}\right)}{P\left(\overline{F}\right)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5$

Sabiendo que no le gusta el fútbol, la probabilidad de que le guste el balonmano es $0{,}5$, es decir, un $50\%$.