Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

En una votación se registran 900 votos en total. El candidato A consigue 300 votos; el B consigue el 25 % del total y el candidato C se lleva el resto. Se sabe que el 60 % de los que han votado al candidato A eran mujeres; el 60 % de los del B eran hombres, y el 20 % de los del candidato C eran mujeres.

a) Si se elige un votante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? [1 punto]

b) Si un votante es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado al candidato A? [1 punto]

Llamamos $A$, $B$ y $C$ al suceso «el votante ha votado a ese candidato», y $M$ y $H$ a «el votante es mujer» y «el votante es hombre». Repartimos primero los $900$ votos:

$P(A)=\dfrac{300}{900}=\dfrac13\qquad P(B)=0{,}25=\dfrac14\qquad P(C)=1-\dfrac13-\dfrac14=\dfrac{5}{12}$

Los porcentajes de sexo son las probabilidades condicionadas de la segunda etapa; en el candidato $B$ el enunciado da el porcentaje de hombres, así que el de mujeres es su complementario:

$P(M|A)=0{,}6\qquad P(M|B)=1-0{,}6=0{,}4\qquad P(M|C)=0{,}2$



$\textbf{a) Si se elige un votante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? [1 punto]}$

Los tres candidatos forman un sistema completo de sucesos, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban en $M$.

$P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C)$

$P(M)=\dfrac13\cdot 0{,}6+\dfrac14\cdot 0{,}4+\dfrac{5}{12}\cdot 0{,}2=\dfrac15+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{23}{60}$

La probabilidad de que el votante elegido sea mujer es $\frac{23}{60}\approx 0{,}3833$, es decir, un $38{,}33\%$.

$\textbf{b) Si un votante es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado al candidato A? [1 punto]}$

Ahora se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(H)=1-P(M)=1-\dfrac{23}{60}=\dfrac{37}{60}$

$P(A|H)=\dfrac{P(A)P(H|A)}{P(H)}=\dfrac{\dfrac13\cdot 0{,}4}{\dfrac{37}{60}}=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{\dfrac{37}{60}}=\dfrac{2}{15}\cdot\dfrac{60}{37}=\dfrac{8}{37}$

Sabiendo que el votante es hombre, la probabilidad de que haya votado al candidato $A$ es $\frac{8}{37}\approx 0{,}2162$, es decir, un $21{,}62\%$.