Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

En una residencia de ancianos el 80 % de los residentes tiene cuenta de correo electrónico, el 60 % tiene redes sociales, y el 10 % no tiene ni correo electrónico ni redes sociales. Calcule la probabilidad:

a) De que un residente use correo electrónico y redes sociales. [0,5 puntos]

b) De que un residente use sólo una de las dos cosas. [0,75 puntos]

c) De que un residente use correo electrónico sabiendo que no usa redes sociales. [0,75 puntos]

Llamamos $C$ al suceso «el residente tiene cuenta de correo electrónico» y $R$ al suceso «el residente tiene redes sociales». Los datos del enunciado son:

$P(C)=0{,}8\qquad P(R)=0{,}6\qquad P\left(\overline{C}\cap\overline{R}\right)=0{,}1$

$\textbf{a) De que un residente use correo electrónico y redes sociales. [0,5 puntos]}$

No tener ninguna de las dos cosas es lo contrario de tener alguna, así que por las leyes de De Morgan obtenemos primero la probabilidad de la unión y de ahí despejamos la de la intersección.

$P(C\cup R)=1-P\left(\overline{C\cup R}\right)=1-P\left(\overline{C}\cap\overline{R}\right)=1-0{,}1=0{,}9$

$P(C\cup R)=P(C)+P(R)-P(C\cap R)$

$0{,}9=0{,}8+0{,}6-P(C\cap R)\Rightarrow P(C\cap R)=0{,}5$

La probabilidad de que un residente use correo electrónico y redes sociales es $0{,}5$, es decir, un $50\%$.

Con este dato queda repartida la probabilidad de las cuatro zonas del espacio muestral:



$\textbf{b) De que un residente use sólo una de las dos cosas. [0,75 puntos]}$

Usar solo una de las dos cosas es usar alguna pero no las dos a la vez, de modo que a la unión le restamos la intersección.

$P\left(\text{solo una}\right)=P(C\cup R)-P(C\cap R)=0{,}9-0{,}5=0{,}4$

La probabilidad de que un residente use solo una de las dos cosas es $0{,}4$, es decir, un $40\%$.

$\textbf{c) De que un residente use correo electrónico sabiendo que no usa redes sociales. [0,75 puntos]}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que se calcula por su definición.

$P\left(\overline{R}\right)=1-P(R)=1-0{,}6=0{,}4$

$P\left(C\cap\overline{R}\right)=P(C)-P(C\cap R)=0{,}8-0{,}5=0{,}3$

$P\left(C\,|\,\overline{R}\right)=\dfrac{P\left(C\cap\overline{R}\right)}{P\left(\overline{R}\right)}=\dfrac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75$

La probabilidad de que un residente use correo electrónico sabiendo que no usa redes sociales es $0{,}75$, es decir, un $75\%$.