Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

Se prepara una disolución acuosa de amoníaco que contiene 0,68 g de ese compuesto en 2 litros. Si la constante de basicidad es $\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}$, calcule:

a) El grado de disociación ($\alpha$). (1 punto)

b) La concentración molar de iones ${\text{NH}}_4^{+}$ presentes en la disolución. (0,5 puntos)

c) El pH de la disolución. (0,5 puntos)

Datos: masas atómicas: $\text{N}=14\text{ u}$; $\text{H}=1\text{ u}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{grado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{disociaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(α).}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Primero, la concentración inicial de la base. La masa molar del amoniaco es:

$M(\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3)=14+3\cdot 1=17\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}^{-1}$

$n=\frac{\mathrm{0,68}}{17}=\mathrm{0,040}\text{ mol}$

$c=\frac{\mathrm{0,040}}{2}=\mathrm{0,020}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$

El amoniaco es una base débil que capta un protón del agua:

$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}+\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}$

Expresando las concentraciones en el equilibrio en función del grado de disociación:

$$	$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$	$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}$	$\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}$ Inicial (mol/L)	$c$	0	0 Equilibrio (mol/L)	$c(1-\alpha )$	$c\alpha$	$c\alpha$

$K_b=\frac{[\mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}][\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}]}{[\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3]}=\frac{(c\alpha {)}^2}{c(1-\alpha )}=\frac{c{\alpha }^2}{1-\alpha }$

Aquí no conviene despreciar $\alpha$ frente a 1, porque la disolución es diluida y el grado de disociación no va a ser tan pequeño. Se resuelve la ecuación de segundo grado:

$\mathrm{0,020}{\alpha }^2=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}(1-\alpha )$

$\mathrm{0,020}{\alpha }^2+\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}\alpha -\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}=0$

$\alpha =\frac{-\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}+\sqrt{(\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}{)}^2+4\cdot \mathrm{0,020}\cdot \mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}}}{2\cdot \mathrm{0,020}}$

$\alpha =\frac{-\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}+\mathrm{1,200}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{0,040}}=\mathrm{0,0296}$

Se descarta la raíz negativa, porque un grado de disociación está entre 0 y 1.

El amoniaco está disociado, por tanto, en un 2,96 %, un valor pequeño propio de una base débil.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{concentraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{molar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{iones}}\mathbf{\text{NH₄⁺}}\mathbf{\text{presentes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por cada molécula de amoniaco que reacciona aparece un ion amonio, así que:

$[\mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}]=c\alpha =\mathrm{0,020}\cdot \mathrm{0,0296}=\mathrm{5,91}\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La estequiometría del equilibrio hace que se formen tantos hidroxilos como iones amonio:

$[\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}]=[\mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}]=\mathrm{5,91}\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$

$\mathrm{p}\mathrm{O}\mathrm{H}=-\log (\mathrm{5,91}\cdot {10}^{-4})=\mathrm{3,23}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=14-\mathrm{p}\mathrm{O}\mathrm{H}=14-\mathrm{3,23}=\mathrm{10,77}$

La disolución es básica, como corresponde al amoniaco, aunque bastante lejos del pH 12,3 que tendría una base fuerte de la misma concentración: es la consecuencia de que solo se disocie un 3 %.