Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

Se dispone de una disolución acuosa de ácido acético [ácido etanoico] cuyo pH = 3,0. Calcule:

a) La concentración molar en ácido acético de esa disolución. (1 punto)

b) El grado de disociación ($\alpha$). (0,5 puntos)

c) Calcule la masa en gramos de cloruro de hidrógeno necesaria para preparar 800 mL de una disolución de ese mismo pH. (0,5 puntos)

Datos: $K_a=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}$. Masas atómicas: $\text{Cl}=\mathrm{35,5}\text{ u}$; $\text{H}=1\text{ u}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{concentraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{molar}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{ac}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aquí el camino es el inverso del habitual: se conoce el pH y la constante, y se busca la concentración inicial.

Del pH se obtiene la concentración de protones en el equilibrio:

$[{\mathrm{H}}^{+}]={10}^{-\mathrm{p}\mathrm{H}}={10}^{-\mathrm{3,0}}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$

Se plantea el equilibrio de disociación, abreviando el ácido acético como $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$. Por cada protón que aparece se forma un acetato y desaparece una molécula de ácido, de modo que llamando $c$ a la concentración inicial:

$\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}\rightleftharpoons {\mathrm{H}}^{+}+\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}$

$$	$\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$	${\mathrm{H}}^{+}$	$\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}$ Inicial (mol/L)	$c$	0	0 Equilibrio (mol/L)	$c-{10}^{-3}$	${10}^{-3}$	${10}^{-3}$

$K_a=\frac{[{\mathrm{H}}^{+}][\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}]}{[\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}]}=\frac{(\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}{)}^2}{c-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}$

Despejando:

$c-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}=\frac{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}}=\mathrm{5,56}\cdot {10}^{-2}$

$c=\mathrm{5,56}\cdot {10}^{-2}+\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{5,66}\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{grado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{disociaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(α).}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es la fracción del ácido inicial que se ha ionizado:

$\alpha =\frac{[{\mathrm{H}}^{+}]}{c}=\frac{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{5,66}\cdot {10}^{-2}}=\mathrm{1,77}\cdot {10}^{-2}$

Se ha disociado, por tanto, el 1,77 % del ácido acético; el resto permanece como molécula sin ionizar, que es lo característico de un ácido débil.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{gramos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cloruro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hidr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{preparar}}\mathbf{\text{800}}\mathbf{\text{mL}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{pH.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El cloruro de hidrógeno es un ácido fuerte y se disocia por completo, de modo que la concentración de ácido coincide con la de protones que se busca:

$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{l}\to {\mathrm{H}}^{+}+\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{-}\Rightarrow c(\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{l})=[{\mathrm{H}}^{+}]=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$

$n=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{0,800}=\mathrm{8,0}\cdot {10}^{-4}\text{ mol}$

Con la masa molar $M(\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{l})=1+\mathrm{35,5}=\mathrm{36,5}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}^{-1}$:

$m=\mathrm{8,0}\cdot {10}^{-4}\cdot \mathrm{36,5}=\mathrm{2,92}\cdot {10}^{-2}\mathrm{g}$

Hacen falta unos 0,029 g. La comparación con el apartado a) es reveladora: para el mismo pH se necesita una concentración de ácido acético cincuenta y seis veces mayor que de cloruro de hidrógeno, porque el ácido débil apenas cede una parte de sus protones.