Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2020

Dos partículas con cargas de $+1\mu \text{C}$ y de $-1\mu \text{C}$ están situadas en los puntos del plano $XY$ de coordenadas $(-1,0)$ y $(1,0)$, respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expresadas en metros, calcule:

a) El vector campo eléctrico en el punto $(0,3)$.

b) El potencial eléctrico en los puntos $(1,1)$ y $(3,3)$.

c) El trabajo realizado por el campo para llevar una carga de $+1\text{ C}$ desde el punto $(1,1)$ al $(3,3)$.

Dato: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$










El campo creado por una carga puntual es $\vec{E}=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}{\vec{u}}_r$.

Por simetría las dos cargas están a la misma distancia del punto:

$r=\mathrm{\mid }(1,3)\mathrm{\mid }=\sqrt{10}=\mathrm{3,16}\text{ m}$





El módulo del campo creado por cada una es el mismo:

$E=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{10}}=\mathrm{9,0}\cdot {10}^2\text{ N/C}$

El campo de la carga positiva, situada en $(-1,0)$, se aleja de ella según el unitario $\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)$; el de la negativa, situada en $(1,0)$, apunta hacia ella según $\frac{1}{\sqrt{10}}(1,-3)$.

Al sumarlos, las componentes verticales se cancelan y solo queda la horizontal:

$\vec{E}=(2\cdot \mathrm{9,0}\cdot {10}^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}},0)=(\mathrm{5,69}\cdot {10}^2,0)\text{ N/C}$

El campo va dirigido de la carga positiva hacia la negativa, con módulo $\mathrm{5,69}\cdot {10}^2\text{ N/C}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

El potencial es escalar y se suman los de las dos cargas con su signo.

En $(1,1)$ las distancias son $\sqrt{(1+1{)}^2+1^2}=\sqrt{5}=\mathrm{2,24}\text{ m}$ a la positiva y $1\text{ m}$ a la negativa:

$V_1=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{\mathrm{2,24}}}-{\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{1}})=-\mathrm{4,98}\cdot {10}^3\text{ V}$

En $(3,3)$ las distancias son $\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ m}$ y $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}=\mathrm{3,61}\text{ m}$:

$V_2=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{5}}-{\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{\mathrm{3,61}}})=-\mathrm{6,96}\cdot {10}^2\text{ V}$



Como el campo electrostático es conservativo:

$W=q(V_1-V_2)=1\cdot (-\mathrm{4,98}\cdot {10}^3+\mathrm{6,96}\cdot {10}^2)$

$W=-\mathrm{4,28}\cdot {10}^3\text{ J}$

El trabajo del campo es negativo porque la carga positiva se lleva hacia un punto de mayor potencial: hay que empujarla, y son fuerzas externas las que realizan un trabajo de $+\mathrm{4,28}\cdot {10}^3\text{ J}$.