Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2022

Un núcleo de fósforo tiene número atómico 15, número másico 31 y masa atómica $\mathrm{30,97}\text{ u}$. Se mueve con una velocidad de $\mathrm{0,25}c$ respecto de un observador en reposo y durante un cierto tiempo de observación recorre una longitud de $1\text{ m}$, respecto de este observador. Determine:

a) La longitud de onda de De Broglie asociada al núcleo de fósforo.

b) El espacio recorrido por este núcleo para un observador asociado a él.

c) La energía de enlace por nucleón en eV.

Datos: $1\text{ u}=\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $m_p=\mathrm{1,0073}\text{ u}$; $m_n=\mathrm{1,0087}\text{ u}$; $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sforo.}}$

Se expresan primero la masa y la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$m=\mathrm{30,97}\cdot \mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{5,14}\cdot {10}^{-26}\text{ kg}$

$v=\mathrm{0,25}c=\mathrm{0,25}\cdot 3\cdot {10}^8=\mathrm{7,5}\cdot {10}^7\text{ m/s}$

Aplicando la hipótesis de De Broglie:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{mv}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{5,14}\cdot {10}^{-26}\cdot \mathrm{7,5}\cdot {10}^7}}=\mathrm{1,72}\cdot {10}^{-16}\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{espacio}}\mathbf{\text{recorrido}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{asociado}}\mathbf{\text{a}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{l.}}$

El metro recorrido lo mide el observador en reposo, respecto del cual esa distancia está fija: es, por tanto, la longitud propia. Para el observador que viaja con el núcleo, la distancia aparece contraída:

$L={\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}$

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{0,25}}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{0,9375}}}}=\mathrm{1,033}$

$L={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,033}}}=\mathrm{0,968}\text{ m}$

Para un observador asociado al núcleo, el espacio recorrido es de $\mathrm{0,968}\text{ m}$, algo menor que el metro que mide el laboratorio.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{enlace}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{nucle}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eV.}}$

El fósforo tiene $Z=15$ protones y $N=A-Z=31-15=16$ neutrones:

$\mathrm{\Delta }m=15\cdot \mathrm{1,0073}+16\cdot \mathrm{1,0087}-\mathrm{30,97}=\mathrm{0,2787}\text{ u}$

$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{0,2787}\cdot \mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{4,63}\cdot {10}^{-28}\text{ kg}$

$E_e=\mathrm{\Delta }m{c}^2=\mathrm{4,63}\cdot {10}^{-28}\cdot (3\cdot {10}^8{)}^2=\mathrm{4,16}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

$E_e={\displaystyle \frac{\mathrm{4,16}\cdot {10}^{-11}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{2,60}\cdot {10}^8\text{ eV}$

Y por nucleón:

${\displaystyle \frac{E_e}{A}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,60}\cdot {10}^8}{31}}=\mathrm{8,39}\cdot {10}^6\text{eV/nucle}\acute{\text{o}}\text{n}$

es decir, $\mathrm{8,39}\text{MeV/nucle}\acute{\text{o}}\text{n}$, un valor próximo al máximo de la curva de estabilidad nuclear.