Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2022

El Pu-238 es un isótopo radiactivo que se ha utilizado en el Mars Science Laboratory como fuente de energía nuclear a largo plazo. Su período de semidesintegración es de 87,7 años. Si tenemos una pastilla de este isótopo con una actividad inicial de 40 kBq. Determina:

a) la constante de desintegración radiactiva del Pu-238. [1 punto]

b) la actividad de la muestra al cabo de 100 años. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Pu-238.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos, y está ligado a la constante de desintegración por:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$





Se despeja la constante y se sustituye:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{87,7}}}=\mathrm{7,90}\cdot {10}^{-3}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{7,90}\cdot {10}^{-3}}{365\cdot 24\cdot 3600}}=\mathrm{2,51}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$

La constante de desintegración del plutonio-238 vale $\mathrm{2,51}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La actividad sigue la ley exponencial de desintegración:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Se trabaja con la constante en ${\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$ para que sea coherente con el tiempo dado:

$A=40\cdot e^{-\mathrm{7,90}\cdot {10}^{-3}\cdot 100}=40\cdot e^{-\mathrm{0,790}}$

$A=40\cdot \mathrm{0,454}=\mathrm{18,1}\text{ kBq}$

Al cabo de 100 años la actividad de la pastilla es de $\mathrm{18,1}\text{ kBq}$, es decir, $\mathrm{1,81}\cdot {10}^4\text{ Bq}$.

El resultado tiene sentido: 100 años son algo más de un periodo de semidesintegración, de modo que debía quedar algo menos de la mitad de la actividad inicial. Es justamente esa lentitud, con una potencia que decae muy poco en décadas, lo que hace del plutonio-238 una buena fuente de energía para una misión interplanetaria.