Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2021

Una muestra de U-235, que se utiliza como combustible en centrales nucleares, y cuyo período de semidesintegración es de $\mathrm{7,038}\cdot {10}^8$ años tiene una actividad inicial de 50 kBq. Determina:

a) La constante de desintegración radiactiva. [1 punto]

b) La actividad de la muestra al cabo de 100 millones de años. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos, y está ligado a la constante de desintegración por:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$





Se despeja la constante y se sustituye:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{7,038}\cdot {10}^8}}=\mathrm{9,85}\cdot {10}^{-10}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{9,85}\cdot {10}^{-10}}{365\cdot 24\cdot 3600}}=\mathrm{3,12}\cdot {10}^{-17}{\text{s}}^{-1}$

La constante de desintegración del uranio-235 vale $\mathrm{3,12}\cdot {10}^{-17}{\text{s}}^{-1}$, un valor extraordinariamente pequeño que refleja lo lentamente que se desintegra este isótopo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{millones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La actividad sigue la ley exponencial de desintegración:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Se trabaja con la constante en ${\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$, para que sea coherente con el tiempo dado:

$t=100\text{millones de a}\tilde{\text{n}}\text{os}={10}^8\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

$A=50\cdot e^{-\mathrm{9,85}\cdot {10}^{-10}\cdot {10}^8}=50\cdot e^{-\mathrm{0,0985}}$

$A=50\cdot \mathrm{0,906}=\mathrm{45,3}\text{ kBq}$

Al cabo de cien millones de años la actividad de la muestra sigue siendo de $\mathrm{45,3}\text{ kBq}$, es decir, $\mathrm{4,53}\cdot {10}^4\text{ Bq}$.

El resultado se entiende comparando los dos tiempos: cien millones de años son solo la séptima parte del periodo de semidesintegración del uranio-235, de modo que la muestra apenas ha perdido un 9 % de su actividad. Es esa lentitud la que explica que todavía quede uranio-235 natural en la corteza terrestre, formado hace miles de millones de años.