Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2024

Una onda transversal que se propaga por una cuerda tiene una ecuación dada por $y(x,t)=10\text{sen}(2t-5x+\pi )$ (m), donde la posición y el tiempo están expresados en el Sistema Internacional de Unidades. Determine la velocidad de propagación de la onda y la velocidad en el instante inicial ($t=0$), de una partícula de la cuerda situada en $x=2\text{ m}$.

Se compara la ecuación del enunciado con la general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

$y(x,t)=10\text{sen}(2t-5x+\pi )$

Identificando términos:

$A=10\text{ m}\omega =2\text{ rad/s}k=5\text{ rad/m}{\phi }_0=\pi \text{ rad}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4}\text{ m/s}$

La velocidad de una partícula de la cuerda es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=10\cdot 2\cos (2t-5x+\pi )=20\cos (2t-5x+\pi )$

Sustituyendo $t=0$ y $x=2\text{ m}$, con el argumento en radianes:

$v_y(2,0)=20\cos (0-10+\pi )=20\cos (-\mathrm{6,86})=\mathrm{16,8}\text{ m/s}$

La onda avanza a $\mathrm{0,4}\text{ m/s}$ mientras que esa partícula sube a $\mathrm{16,8}\text{ m/s}$: son dos velocidades distintas y no hay que confundirlas.