Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2023

Para una onda de ecuación $y(x,t)=A\text{sen}\left[2\pi ({\displaystyle \frac{t}{T}}-{\displaystyle \frac{x}{\lambda }})\right]$, la elongación $y$, de un punto en $x=4\text{ cm}$ y en el instante $t=T\mathrm{/}6$, es igual a la mitad de la amplitud. Si la longitud y el tiempo en la ecuación de ondas está expresada en metros y segundos, respectivamente, calcule la longitud de onda de dicha onda.

Se parte de la ecuación de onda del enunciado y se impone la condición que da:

$y(x,t)=A\text{sen}\left[2\pi ({\displaystyle \frac{t}{T}}-{\displaystyle \frac{x}{\lambda }})\right]$

Para $x=4\text{ cm}=\mathrm{0,04}\text{ m}$ y $t={\displaystyle \frac{T}{6}}$ la elongación es la mitad de la amplitud:

${\displaystyle \frac{A}{2}}=A\text{sen}\left[2\pi ({\displaystyle \frac{T\mathrm{/}6}{T}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\lambda }})\right]$

La amplitud se simplifica, de modo que el resultado no depende de ella:

$\text{sen}\left[2\pi ({\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\lambda }})\right]={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El primer ángulo cuyo seno vale un medio es ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$:

$2\pi ({\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\lambda }})={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

${\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

$\lambda =12\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,48}\text{ m}$

Se descarta la otra solución del seno, ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, porque conduce a ${\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\lambda }}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, es decir, a una longitud de onda negativa, que carece de sentido físico.

La longitud de onda es de $\mathrm{0,48}\text{ m}=48\text{ cm}$.