Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2023

Una onda de amplitud $10\text{ cm}$ se propaga en el sentido positivo del eje $X$ con una velocidad de propagación de $4\text{ m/s}$ y un periodo de $\mathrm{0,4}\text{ s}$. En el instante inicial y en el origen de coordenadas la onda tiene una elongación de $4\text{ cm}$. Calcule:

a) La fase inicial de la onda. Escriba la ecuación de la onda.

b) La diferencia de fase, para un instante dado, entre los puntos $x=0\text{ m}$ y $x=4\text{ m}$.

c) La velocidad transversal de un punto situado en $x=4\text{ m}$ en el instante $t=5\text{ s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

Se calculan primero las magnitudes características a partir de los datos:

$\lambda =vT=4\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{1,6}\text{ m}$

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,4}}}=5\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,6}}}=\mathrm{1,25}\pi \text{ rad/m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La fase inicial se obtiene imponiendo que en $t=0$ y $x=0$ la elongación sea $4\text{ cm}$:

$\mathrm{0,04}=\mathrm{0,1}\text{sen}{\phi }_0\Rightarrow \text{sen}{\phi }_0=\mathrm{0,4}$

${\phi }_0=\arcsin (\mathrm{0,4})=\mathrm{0,412}\text{ rad}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t)=\mathrm{0,1}\text{sen}(5\pi t-\mathrm{1,25}\pi x+\mathrm{0,412})\text{ m}$



Para un instante fijo, la fase solo depende de la posición:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=\mathrm{1,25}\pi \cdot 4=5\pi \text{ rad}=\mathrm{15,7}\text{ rad}$

Como $5\pi =4\pi +\pi$, la diferencia equivale a $\pi \text{ rad}$: los dos puntos están en oposición de fase, lo que era previsible porque entre ellos caben dos longitudes de onda y media.



La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,1}\cdot 5\pi \cos (5\pi t-\mathrm{1,25}\pi x+\mathrm{0,412})$

Sustituyendo:

$5\pi \cdot 5-\mathrm{1,25}\pi \cdot 4+\mathrm{0,412}=25\pi -5\pi +\mathrm{0,412}=20\pi +\mathrm{0,412}\text{ rad}$

$v_y=\mathrm{0,5}\pi \cos (20\pi +\mathrm{0,412})=\mathrm{0,5}\pi \cdot \mathrm{0,917}=\mathrm{1,44}\text{ m/s}$