Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2022

Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje $X$ y tiene una amplitud de $2\text{ cm}$, una longitud de onda de $4\text{ cm}$ y una frecuencia de $8\text{ Hz}$. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) La fase inicial y la expresión matemática que representa la onda, sabiendo que para $x=0$ y $t=0$ la elongación es $y=-2\text{ cm}$.

c) La distancia mínima de separación entre dos partículas del medio que oscilan desfasadas $\pi \mathrm{/}3\text{ rad}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es el producto de su longitud de onda por su frecuencia:

$v=\lambda f=\mathrm{0,04}\cdot 8=\mathrm{0,32}\text{ m/s}$



Se calculan primero la frecuencia angular y el número de onda:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 8=16\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,04}}}=50\pi \text{ rad/m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

Imponiendo la condición del enunciado, que en el origen y en el instante inicial la elongación sea $-2\text{ cm}$, es decir, el mínimo:

$-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,02}\text{sen}{\phi }_0\Rightarrow \text{sen}{\phi }_0=-1\Rightarrow {\phi }_0=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\text{sen}(16\pi t-50\pi x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ m}$



Para un instante dado, la diferencia de fase entre dos puntos depende solo de su separación:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x\Rightarrow \mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{k}}$

$\mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{\pi \mathrm{/}3}{50\pi }}={\displaystyle \frac{1}{150}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-3}\text{ m}$

La distancia mínima es de $\mathrm{6,67}\text{ mm}$, que es justamente la sexta parte de la longitud de onda, como corresponde a un desfase de $\pi \mathrm{/}3$ frente a los $2\pi$ de un ciclo completo.