Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2022

Una onda armónica, senoidal y transversal se propaga por una cuerda en sentido negativo del eje $X$ con una frecuencia de $10\text{ Hz}$, una velocidad de propagación de $30\text{ m/s}$ y una fase inicial de $\pi \mathrm{/}2\text{ rad}$. Si en el instante inicial y en el origen de coordenadas la elongación de la cuerda es de $5\text{ cm}$, determine:

a) La ecuación de la onda.

b) La velocidad de vibración de un punto de la cuerda situado en la posición $x=20\text{ cm}$ en el instante $t=\mathrm{0,25}\text{ s}$.

c) La distancia entre dos puntos de la cuerda cuya diferencia de fase, en un determinado instante de tiempo, es $\pi \mathrm{/}8\text{ rad}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

Como la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t+kx+{\phi }_0)$

Se calculan las constantes:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 10=20\pi \text{ rad/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{30}{10}}=3\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\text{ rad/m}$

La amplitud se obtiene de la condición del enunciado: en $t=0$ y $x=0$ la elongación vale $5\text{ cm}$, y la fase inicial es $\pi \mathrm{/}2$:

$\mathrm{0,05}=A\text{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=A\Rightarrow A=\mathrm{0,05}\text{ m}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t)=\mathrm{0,05}\text{sen}(20\pi t+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ m}$



La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,05}\cdot 20\pi \cos (20\pi t+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$v_y=\pi \cos (20\pi t+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

Sustituyendo $x=\mathrm{0,20}\text{ m}$ y $t=\mathrm{0,25}\text{ s}$, con el argumento en radianes:

$20\pi \cdot \mathrm{0,25}+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\cdot \mathrm{0,20}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=5\pi +\mathrm{0,419}+\mathrm{1,571}=\mathrm{17,70}\text{ rad}$

$v_y=\pi \cos (\mathrm{17,70})=\mathrm{1,28}\text{ m/s}$



Para un instante fijo, la diferencia de fase depende solo de la separación:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x\Rightarrow \mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{k}}={\displaystyle \frac{\pi \mathrm{/}8}{2\pi \mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3}{16}}$

$\mathrm{\Delta }x=\mathrm{0,1875}\text{ m}$

Es la dieciseisava parte de la longitud de onda, como corresponde a un desfase de $\pi \mathrm{/}8$ frente a los $2\pi$ de un ciclo completo.