Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2021

Por una cuerda se propaga una onda cuya ecuación es $y(x,t)=2\text{sen}(x+6t)$, donde $x$ e $y$ vienen expresadas en metros y $t$ en segundos.

a) Calcule la longitud de onda, el periodo y la velocidad con que se propaga.

b) Calcule la velocidad transversal de un punto situado en $x=4\text{ m}$ en el instante $t=5\text{ s}$, así como la velocidad máxima de un punto de la cuerda.

c) Represente gráficamente, para un punto de la cuerda situado en $x=2\text{ cm}$, la elongación y la velocidad en función del tiempo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga.}}$

Se compara la ecuación del enunciado con la general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t+kx)$

$y(x,t)=2\text{sen}(x+6t)$

Identificando términos:

$A=2\text{ m}\omega =6\text{ rad/s}k=1\text{ rad/m}$

Como los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo, la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$.

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}=2\pi =\mathrm{6,28}\text{ m}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{6}}=\mathrm{1,05}\text{ s}$

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{6}{1}}=6\text{ m/s}$



La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=2\cdot 6\cos (x+6t)=12\cos (x+6t)$

Sustituyendo $x=4\text{ m}$ y $t=5\text{ s}$, con el argumento en radianes:

$v_y=12\cos (4+30)=12\cos (34)=-\mathrm{10,2}\text{ m/s}$

El signo negativo indica que en ese instante el punto se mueve hacia abajo.

La velocidad máxima se alcanza cuando el coseno vale la unidad:

$v_{y,\max }=A\omega =2\cdot 6=12\text{ m/s}$



Para $x=2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}$ las dos funciones son:

$y(t)=2\text{sen}(\mathrm{0,02}+6t)\text{ m}$

$v_y(t)=12\cos (\mathrm{0,02}+6t)\text{ m/s}$

Ambas son sinusoides del mismo periodo, $T=\mathrm{1,05}\text{ s}$, desfasadas $\pi \mathrm{/}2$: la velocidad es máxima cuando la elongación se anula y viceversa. En la gráfica la velocidad se ha dibujado dividida entre seis para que quepan las dos curvas en la misma escala.