Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2020

Una onda transversal se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje $X$, con una longitud de onda de $2\text{ m}$, una frecuencia de $10\text{ Hz}$, una amplitud de $5\text{ cm}$ y una fase inicial de $\pi \text{ rad}$. Calcule:

a) El periodo, la frecuencia angular y el número de onda. Escriba la ecuación de la onda.

b) La velocidad de propagación de la onda así como la velocidad con la que vibra, en el instante $t=\mathrm{0,10}\text{ s}$, un punto de la cuerda situado en $x=20\text{ cm}$.

c) La distancia entre dos puntos de la cuerda cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es $\pi \mathrm{/}6\text{ rad}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

De los datos del enunciado:

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=\mathrm{0,1}\text{ s}$

$\omega =2\pi f=20\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi \text{ rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$ y la fase inicial es $\pi \text{ rad}$, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t)=\mathrm{0,05}\text{sen}(20\pi t-\pi x+\pi )\text{ m}$



La velocidad de propagación es:

$v=\lambda f=2\cdot 10=20\text{ m/s}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,05}\cdot 20\pi \cos (20\pi t-\pi x+\pi )=\pi \cos (20\pi t-\pi x+\pi )$

Sustituyendo $x=\mathrm{0,20}\text{ m}$ y $t=\mathrm{0,10}\text{ s}$, con el argumento en radianes:

$20\pi \cdot \mathrm{0,10}-\pi \cdot \mathrm{0,20}+\pi =2\pi -\mathrm{0,2}\pi +\pi =\mathrm{2,8}\pi =\mathrm{8,80}\text{ rad}$

$v_y=\pi \cos (\mathrm{8,80})=-\mathrm{2,54}\text{ m/s}$

El signo negativo indica que en ese instante el punto se mueve hacia abajo.



Para un instante fijo, la diferencia de fase depende solo de la separación:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x\Rightarrow \mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{k}}={\displaystyle \frac{\pi \mathrm{/}6}{\pi }}=\mathrm{0,167}\text{ m}$