Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Extremadura · 2024

La función de una onda estacionaria en una cuerda fija por sus dos extremos viene dada, en el Sistema Internacional, por:

$y(x,t)=10\sin (\mathrm{0,4}\pi x)\cos (60\pi t)$

Determina:

a) la amplitud, [0,4 puntos]

b) la longitud de onda, [0,4 puntos]

c) la frecuencia, [0,4 puntos]

d) la velocidad de propagación de las ondas componentes y [0,4 puntos]

e) la distancia entre dos nodos consecutivos. [0,4 puntos]

La función dada es la de una onda estacionaria escrita en la forma habitual:

$y(x,t)=A_{\text{est}}\sin (kx)\cos (\omega t)$

Comparándola con la del enunciado se identifican los parámetros:

$A_{\text{est}}=10\text{ m}k=\mathrm{0,4}\pi \text{ rad/m}\omega =60\pi \text{ rad/s}$



La onda estacionaria no se propaga: cada punto de la cuerda oscila con una amplitud que depende de su posición, entre cero en los nodos y el máximo en los vientres. Es lo que se dibuja en la figura, con la envolvente en trazo discontinuo y los nodos marcados.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La amplitud de oscilación de un punto situado en la abscisa $x$ es el factor que multiplica al coseno:

$A(x)=10\sin (\mathrm{0,4}\pi x)\text{ m}$

Su valor máximo, el de los vientres, es:

$A_{\max }=10\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

A partir del número de ondas:

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,4}\pi }}=5\text{ m}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

A partir de la frecuencia angular:

$\omega =2\pi f\Rightarrow f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{60\pi }{2\pi }}=30\text{ Hz}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{componentes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una onda estacionaria es la superposición de dos ondas iguales que se propagan en sentidos contrarios. Ambas tienen la longitud de onda y la frecuencia calculadas, de modo que su velocidad de propagación es:

$v=\lambda f=5\cdot 30=150\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{nodos}}\mathbf{\text{consecutivos.}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los nodos son los puntos que no oscilan, es decir, aquellos en los que se anula la amplitud:

$\sin (\mathrm{0,4}\pi x)=0\Rightarrow \mathrm{0,4}\pi x=n\pi \Rightarrow x={\displaystyle \frac{n}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{2,5}n\text{ m}(n=0,1,2,\dots )$

Dos nodos consecutivos están separados, por tanto:

$\mathrm{\Delta }x=\mathrm{2,5}\text{ m}={\displaystyle \frac{\lambda }{2}}$

La distancia entre dos nodos consecutivos es $\mathrm{2,5}\text{ m}$, media longitud de onda, como ocurre en toda onda estacionaria.