Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Extremadura · 2024

Un altavoz emite una onda sonora que, a 10 m de distancia, tiene una intensidad de $2\cdot {10}^{-7}{\text{W/cm}}^2$. Considerando el frente de ondas esférico, determina:

a) El nivel de intensidad sonora que percibe una persona situada a dicha distancia del altavoz. [0,5 puntos]

b) La energía emitida por el altavoz en medio minuto. [0,5 puntos]

c) La intensidad del sonido a una distancia de 20 m del altavoz. [0,5 puntos]

d) La amplitud de la vibración a 20 m del altavoz, si a 10 m es de 2 mm. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{percibe}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{altavoz.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Antes de nada se expresa la intensidad en unidades del Sistema Internacional. Como $1{\text{m}}^2={10}^4{\text{cm}}^2$:

$I_1=2\cdot {10}^{-7}{\displaystyle \frac{\text{W}}{{\text{cm}}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{{10}^4{\text{cm}}^2}{1{\text{m}}^2}}=2\cdot {10}^{-3}{\text{W/m}}^2$

El nivel de intensidad sonora se define respecto de la intensidad umbral de audición, $I_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}=10\log {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-3}}{{10}^{-12}}}=10\log (2\cdot {10}^9)$

$\beta =\mathrm{93,0}\text{ dB}$

La persona percibe un nivel de $\mathrm{93,0}\text{ dB}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{emitida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{altavoz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{minuto.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Como el frente de ondas es esférico, toda la potencia del altavoz atraviesa una esfera de radio $r$ centrada en él:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}\Rightarrow P=I4\pi r^2$





$P=2\cdot {10}^{-3}\cdot 4\pi \cdot {10}^2=\mathrm{2,51}\text{ W}$

La energía emitida en medio minuto, es decir, en 30 segundos, es:

$E=Pt=\mathrm{2,51}\cdot 30=\mathrm{75,4}\text{ J}$

El altavoz emite $\mathrm{75,4}\text{ J}$ en medio minuto.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{altavoz.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La potencia emitida es la misma, pero se reparte sobre una esfera de radio doble y por tanto de superficie cuatro veces mayor:

${\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}={\displaystyle \frac{r_1^2}{r_2^2}}={\left({\displaystyle \frac{10}{20}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$I_2={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-3}}{4}}=5\cdot {10}^{-4}{\text{W/m}}^2$

Al doblar la distancia la intensidad se reduce a la cuarta parte, $5\cdot {10}^{-4}{\text{W/m}}^2$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{altavoz,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{mm.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud:

${\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}={\displaystyle \frac{A_2^2}{A_1^2}}$

Como la intensidad se ha reducido a la cuarta parte:

${\displaystyle \frac{A_2^2}{A_1^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{A_2}{A_1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$A_2={\displaystyle \frac{2}{2}}=1\text{ mm}$

La amplitud a 20 m es de $1\text{ mm}$: al contrario que la intensidad, la amplitud de una onda esférica disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia.