Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2020

Una onda armónica senoidal transversal se propaga en sentido positivo del eje $X$ con una frecuencia de $10\text{ Hz}$, una velocidad de propagación de $20\text{ m/s}$, una amplitud de $\mathrm{0,05}\text{ m}$ y fase inicial nula. Determine:

a) La ecuación de la onda.

b) La velocidad de vibración de un punto situado en $x=20\text{ cm}$ en el instante $t=\mathrm{0,15}\text{ s}$.

c) La distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es $\pi \mathrm{/}6\text{ rad}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

Se calculan las constantes de la onda a partir de los datos:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 10=20\pi \text{ rad/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{20}{10}}=2\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi \text{ rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$ y la fase inicial es nula, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t)=\mathrm{0,05}\text{sen}(20\pi t-\pi x)\text{ m}$



La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,05}\cdot 20\pi \cos (20\pi t-\pi x)=\pi \cos (20\pi t-\pi x)$

Sustituyendo $x=\mathrm{0,20}\text{ m}$ y $t=\mathrm{0,15}\text{ s}$, con el argumento en radianes:

$20\pi \cdot \mathrm{0,15}-\pi \cdot \mathrm{0,20}=3\pi -\mathrm{0,2}\pi =\mathrm{2,8}\pi =\mathrm{8,80}\text{ rad}$

$v_y=\pi \cos (\mathrm{8,80})=-\mathrm{2,54}\text{ m/s}$

El signo negativo indica que en ese instante el punto se mueve hacia abajo.



Para un instante fijo, la diferencia de fase depende solo de la separación:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x\Rightarrow \mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{k}}={\displaystyle \frac{\pi \mathrm{/}6}{\pi }}=\mathrm{0,167}\text{ m}$

Es la doceava parte de la longitud de onda, como corresponde a un desfase de $\pi \mathrm{/}6$ frente a los $2\pi$ de un ciclo completo.