Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2022

Escriba la ecuación de una onda transversal armónica (senoidal) que se propaga por una cuerda en el sentido negativo del eje $X$, si se conoce que la velocidad de propagación de la perturbación es de $4\text{ m}{\text{s}}^{-1}$, su longitud de onda es de $2\text{ m}$, su amplitud de $\mathrm{0,8}\text{ m}$ y, además, que en el instante inicial el elemento de cuerda situado en el origen de coordenadas tiene elongación nula.

Se trata de construir la ecuación de una onda armónica a partir de sus características. La forma general de una onda que se propaga en el sentido negativo del eje $X$ es:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t+kx+{\phi }_0)$

porque los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo.

Se calculan las constantes a partir de los datos. La frecuencia sale de la velocidad y la longitud de onda:

$v=\lambda f\Rightarrow f={\displaystyle \frac{v}{\lambda }}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2\text{ Hz}$

$\omega =2\pi f=4\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi \text{ rad/m}$

La fase inicial se obtiene de la condición del enunciado: en $t=0$ el elemento situado en $x=0$ tiene elongación nula.

$0=\mathrm{0,8}\text{sen}{\phi }_0\Rightarrow \text{sen}{\phi }_0=0\Rightarrow {\phi }_0=0\text{ rad}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t)=\mathrm{0,8}\text{sen}(4\pi t+\pi x)\text{ m}$

Se ha tomado la solución ${\phi }_0=0$; la otra posibilidad, ${\phi }_0=\pi$, describe la misma onda con la elongación cambiada de signo y también cumple el enunciado.