Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2023

Una onda armónica sinusoidal y transversal se propaga por una cuerda en sentido de las $x$ positivas. Su amplitud es de $10\text{ cm}$, la frecuencia de $25\text{ Hz}$, la velocidad de propagación $10\text{ m/s}$. En el instante inicial, el punto que se encuentra en $x=20\text{ cm}$ tiene una elongación de $-5\text{ cm}$. Calcule:

a) La longitud de onda, el periodo, la fase inicial y la ecuación de la elongación.

b) La diferencia de fase entre dos instantes separados $\mathrm{0,5}\text{ s}$, para un punto dado.

c) Energía que adquiere cada partícula de la cuerda si su masa es de $10\text{ g}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{elongaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

De los datos del enunciado:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{10}{25}}=\mathrm{0,4}\text{ m}$

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{25}}=\mathrm{0,04}\text{ s}$

$\omega =2\pi f=50\pi \text{ rad/s}k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=5\pi \text{ rad/m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La fase inicial se obtiene de la condición del enunciado: en $t=0$, el punto $x=\mathrm{0,2}\text{ m}$ tiene una elongación de $-\mathrm{0,05}\text{ m}$.

$-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,1}\text{sen}(-5\pi \cdot \mathrm{0,2}+{\phi }_0)=\mathrm{0,1}\text{sen}({\phi }_0-\pi )$

$\text{sen}({\phi }_0-\pi )=-\mathrm{0,5}\Rightarrow {\phi }_0-\pi =-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\Rightarrow {\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t)=\mathrm{0,1}\text{sen}(50\pi t-5\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{instantes}}\mathbf{\text{separados}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">0,5</mn><mtext> s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{dado.}}$

Para un punto fijo, la fase solo cambia por el término temporal:

$\mathrm{\Delta }\phi =\omega \mathrm{\Delta }t=50\pi \cdot \mathrm{0,5}=25\pi \text{ rad}$

$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{78,5}\text{ rad}$

Como $25\pi =24\pi +\pi$, esa diferencia equivale a $\pi \text{ rad}$: en medio segundo caben doce periodos y medio, de modo que el punto está en oposición de fase respecto del instante inicial.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{adquiere}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mtext> g</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Cada partícula de la cuerda describe un movimiento armónico simple, y su energía mecánica es:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\omega }^2{A}^2$

Con la masa en kilogramos, $m=10\text{ g}=\mathrm{0,01}\text{ kg}$:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,01}\cdot (50\pi {)}^2\cdot (\mathrm{0,1}{)}^2=\mathrm{1,23}\text{ J}$

Cada partícula de la cuerda oscila con una energía de $\mathrm{1,23}\text{ J}$, que es la que le transmite la onda al pasar por ella.