Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se realiza un sondeo preelectoral, encuestando a 2500 personas, de las que 1500 manifiestan su intención de votar.

a) Con un 95 % de confianza, ¿entre qué valores puede estimarse que se encontrará el nivel de abstención?

b) ¿Cuál será el correspondiente intervalo de confianza al 98 %?

c) Si se mantienen las proporciones del sondeo inicial, ¿de qué tamaño tendrá que ser la muestra para hacer dicha estimación con un error menor del 1,5 % y con una confianza del 99 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza,}}\mathbf{\text{¿entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{estimarse}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encontrar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abstenci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

De las 2500 personas encuestadas, $2500-1500=1000$ no manifiestan intención de votar, de modo que la proporción muestral de abstención es

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{1000}{2500}}=\mathrm{0,4}\widehat{q}=\mathrm{0,6}$

Para una confianza del 95 % es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$E=\mathrm{1,96}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}{2500}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,0098}=\mathrm{0,0192}$

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,4}-\mathrm{0,0192},\mathrm{0,4}+\mathrm{0,0192})=(\mathrm{0,3808},\mathrm{0,4192})$

Con una confianza del 95 %, la abstención estará entre el $\mathrm{38,08}$ % y el $\mathrm{41,92}$ %.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{98}}\mathbf{\text{\%?}}$

Con los mismos datos muestrales y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,33}$, que es el valor que deja a su izquierda $\mathrm{0,99}$:

$E=\mathrm{2,33}\cdot \mathrm{0,0098}=\mathrm{0,0228}$

$I{C}_{98\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,4}-\mathrm{0,0228},\mathrm{0,4}+\mathrm{0,0228})=(\mathrm{0,3772},\mathrm{0,4228})$

Con una confianza del 98 %, la abstención estará entre el $\mathrm{37,72}$ % y el $\mathrm{42,28}$ %. Al exigir más confianza, el intervalo se ensancha.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantienen}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{proporciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sondeo}}\mathbf{\text{inicial,}}\mathbf{\text{¿de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{1,5}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99}}\mathbf{\text{\%?}}$

Un error menor del 1,5 % es $E=\mathrm{0,015}$, y para una confianza del 99 % es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,575}$.

$n={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}^2\cdot \widehat{p}\widehat{q}}{E^2}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{2,575}}^2\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}{{\mathrm{0,015}}^2}}$

$n={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6306}\cdot \mathrm{0,24}}{\mathrm{0,000225}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5914}}{\mathrm{0,000225}}}=\mathrm{7072,67}$

Se toma el entero inmediatamente superior: la muestra tendría que ser de $7073$ personas.