Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Un medicamento cura una determinada enfermedad en el 80 % de los casos.

a) Si se administra a 10 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 9 no se curen?

b) Si se administra a 100 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el número de curados esté entre 76 y 88?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 64 pacientes a los que se ha administrado el medicamento, la proporción de no curados sea menor o igual que 0,15?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{administra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{pacientes,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{sumo,}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{curen?}}$

Sea $Y$ el número de pacientes que no se curan. Como el medicamento cura en el 80 % de los casos, cada paciente no se cura con probabilidad $\mathrm{0,2}$ e independientemente de los demás, de modo que $Y\sim B(10;\mathrm{0,2})$.

Que a lo sumo 9 no se curen es el suceso contrario de que no se cure ninguno de los diez, es decir, de que $Y=10$.

$P(Y\le 9)=1-P(Y=10)=1-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{10}\right)\cdot {\mathrm{0,2}}^{10}\cdot {\mathrm{0,8}}^0$

$P(Y\le 9)=1-{\mathrm{0,2}}^{10}=1-\mathrm{0,0000001}=\mathrm{0,9999999}$

La probabilidad de que a lo sumo 9 pacientes no se curen es prácticamente $1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{administra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{pacientes,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{curados}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{76}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{88?}}$

Sea $X$ el número de pacientes curados, con $X\sim B(100;\mathrm{0,8})$.

$\mu =100\cdot \mathrm{0,8}=80\sigma =\sqrt{100\cdot \mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,2}}=\sqrt{16}=4$

Como $np=80>5$ y $nq=20>5$, aproximamos por la normal $X^{\mathrm{\prime }}\sim N(80,4)$ con corrección de continuidad.

$P(76\le X\le 88)\approx P(\mathrm{75,5}\le X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{88,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{75,5}-80}{4}}\le Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{88,5}-80}{4}})=P(-\mathrm{1,13}\le Z\le \mathrm{2,13})$

$=P(Z\le \mathrm{2,13})-[1-P(Z\le \mathrm{1,13})]=\mathrm{0,9834}-(1-\mathrm{0,8708})$

$=\mathrm{0,9834}-\mathrm{0,1292}=\mathrm{0,8542}$

La probabilidad de que el número de curados esté entre 76 y 88 es $\mathrm{0,8542}$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{64}}\mathbf{\text{pacientes}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{administrado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{medicamento,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{curados}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{0,15?}}$

La proporción de no curados en una muestra de tamaño $n=64$ se distribuye

$\widehat{p}\sim N(p,\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}})=N(\mathrm{0,2},\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}}{64}}})=N(\mathrm{0,2};\mathrm{0,05})$

$P(\widehat{p}\le \mathrm{0,15})=P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}-\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,05}}})=P(Z\le -1)$

Por la simetría de la campana,

$P(Z\le -1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

La probabilidad de que la proporción de no curados sea menor o igual que 0,15 es $\mathrm{0,1587}$.