Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Se toma una muestra de 400 estudiantes al azar y se les pregunta por su gasto anual en libros y material escolar, obteniéndose una cantidad media de 132 €. Se sabe, además, que la desviación típica de este gasto en la población estudiantil es de 24 €.

a) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para la media poblacional de este gasto.

b) Calcular el tamaño muestral necesario para que el correspondiente intervalo de confianza del apartado anterior fuese $[\mathrm{128,71},\mathrm{135,29}]$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{gasto.}}$

La muestra tiene $n=400$ estudiantes, con $\bar{x}=132$ € y $\sigma =24$ €.

Para una confianza del 90 % es $\alpha =\mathrm{0,1}$ y el valor que deja a su izquierda $\mathrm{0,95}$ es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{24}{\sqrt{400}}}=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{1,2}=\mathrm{1,974}$

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(\mu )=(132-\mathrm{1,974},132+\mathrm{1,974})=(\mathrm{130,026},\mathrm{133,974})$

Con una confianza del 90 %, el gasto medio anual en libros y material escolar está entre $\mathrm{130,026}$ y $\mathrm{133,974}$ euros.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{fuese}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">128,71</mn><mo\; separator="true">,</mo><mtext> </mtext><mn\; mathvariant="bold">135,29</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La semiamplitud del intervalo que se pide es el nuevo error de estimación.

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{135,29}-\mathrm{128,71}}{2}}=\mathrm{3,29}$

Se despeja el tamaño muestral con el mismo nivel de confianza, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.

$n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \sigma }{E}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,645}\cdot 24}{\mathrm{3,29}}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{39,48}}{\mathrm{3,29}}}\right)}^2={12}^2=144$

El tamaño muestral necesario es de $144$ estudiantes. Al reducir la muestra, el intervalo resulta más ancho que el del apartado anterior.