Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Un estudio reciente, realizado sobre 400 internautas de una región, de edades comprendidas entre 16 y 65 años, indica que 344 usan redes sociales.

a) Con una confianza del 97 %, construir un intervalo de confianza para la proporción de internautas de la región que no usan redes sociales.

b) Si, para estimar la proporción de internautas que usan redes sociales, se obtiene el intervalo $[\mathrm{0,826},\mathrm{0,894}]$. ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?

c) Si la población de la región, con edades entre 16 y 65 años, es de 400000 personas, usando el nivel de confianza del apartado b), ¿entre qué límites está el número de los que no usan redes sociales?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{internautas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{usan}}\mathbf{\text{redes}}\mathbf{\text{sociales.}}$

De los 400 internautas de la muestra, 344 usan redes sociales, de modo que no las usan $400-344=56$.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{56}{400}}=\mathrm{0,14}\widehat{q}=\mathrm{0,86}$

Para una confianza del 97 % es $\alpha =\mathrm{0,03}$ y el valor que deja a su izquierda $\mathrm{0,985}$ es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$.

$E=\mathrm{2,17}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,86}}{400}}}=\mathrm{2,17}\cdot \mathrm{0,0173}=\mathrm{0,0376}$

$I{C}_{97\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,14}-\mathrm{0,0376},\mathrm{0,14}+\mathrm{0,0376})=(\mathrm{0,1024},\mathrm{0,1776})$

Con una confianza del 97 %, la proporción de internautas que no usan redes sociales está entre $\mathrm{0,1024}$ y $\mathrm{0,1776}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{internautas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{usan}}\mathbf{\text{redes}}\mathbf{\text{sociales,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0,826</mn><mo\; separator="true">,</mo><mtext> </mtext><mn\; mathvariant="bold">0,894</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{utilizado?}}$

El centro del intervalo es la proporción muestral de los que sí usan redes sociales y su semiamplitud es el error.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,826}+\mathrm{0,894}}{2}}=\mathrm{0,86}E={\displaystyle \frac{\mathrm{0,894}-\mathrm{0,826}}{2}}=\mathrm{0,034}$

De la fórmula del error se despeja el valor crítico.

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{E}{\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,034}}{\mathrm{0,0173}}}=\mathrm{1,96}$

Buscando $\mathrm{1,96}$ en la tabla de la $N(0,1)$ resulta $P(Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$, de donde

$1-\alpha =2\cdot \mathrm{0,975}-1=\mathrm{0,95}$

El nivel de confianza utilizado es del $95$ %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{edades}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{16}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{65}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{400000}}\mathbf{\text{personas,}}\mathbf{\text{usando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{b),}}\mathbf{\text{¿entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mites}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{usan}}\mathbf{\text{redes}}\mathbf{\text{sociales?}}$

El intervalo del apartado b) se refiere a los que sí usan redes sociales; el de los que no las usan es su complementario.

$(1-\mathrm{0,894},1-\mathrm{0,826})=(\mathrm{0,106},\mathrm{0,174})$

Multiplicando por el tamaño de la población se obtienen los límites pedidos.

$400000\cdot \mathrm{0,106}=42400400000\cdot \mathrm{0,174}=69600$

Con una confianza del 95 %, el número de personas de la región que no usan redes sociales está entre $42400$ y $69600$.