Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una determinada provincia, se seleccionó una muestra al azar de 400 personas cuya media de ingresos mensuales resultó igual a 1250 € con una desviación típica de 210 €.

a) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para los ingresos medios mensuales.

b) ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea estimar los ingresos medios mensuales con un error menor de 15 € y con una confianza del 95 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{medios}}\mathbf{\text{mensuales.}}$

La muestra tiene $n=400$ personas, con $\bar{x}=1250$ € y $\sigma =210$ €.

Para una confianza del 90 % es $\alpha =\mathrm{0,1}$ y el valor que deja a su izquierda $\mathrm{0,95}$ es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{210}{\sqrt{400}}}=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{10,5}=\mathrm{17,2725}$

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(\mu )=(1250-\mathrm{17,2725},1250+\mathrm{17,2725})=(\mathrm{1232,73},\mathrm{1267,27})$

Con una confianza del 90 %, los ingresos medios mensuales están entre $\mathrm{1232,73}$ y $\mathrm{1267,27}$ euros.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿De}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{medios}}\mathbf{\text{mensuales}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%?}}$

Se despeja el tamaño muestral con $E=15$ y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \sigma }{E}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot 210}{15}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{411,6}}{15}}\right)}^2={\mathrm{27,44}}^2=\mathrm{752,95}$

Como el error tiene que quedar por debajo de 15 €, se toma el entero inmediatamente superior: la muestra debe ser de $753$ personas.