Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El peso de las piñas de plátanos de una cooperativa de una determinada zona, se distribuye normalmente con una desviación típica de 8 kg.

a) Determina el tamaño de la muestra si se desea que el intervalo de confianza al 92 % para el peso medio de las piñas de plátanos tenga una amplitud de 4 kg.

b) Si el peso medio de las piñas de plátanos fuera de 40 kg, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 81 piñas estuviese entre 38 y 41 kg?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{92}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{pi}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tanos}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{kg.}}$

La amplitud del intervalo es el doble del error de estimación, de modo que

$E={\displaystyle \frac{4}{2}}=2\text{ kg}$

Para una confianza del 92 % es $\alpha =\mathrm{0,08}$ y el valor que deja a su izquierda $\mathrm{0,96}$ es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,75}$.

$n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \sigma }{E}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,75}\cdot 8}{2}}\right)}^2=7^2=49$

La muestra debe ser de $49$ piñas de plátanos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{pi}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tanos}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{kg,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{81}}\mathbf{\text{pi}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{estuviese}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{38}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{41}}\mathbf{\text{kg?}}$

Para una muestra de tamaño $n=81$ de una población normal,

$\bar{X}\sim N(40,{\displaystyle \frac{8}{\sqrt{81}}})=N(40;\mathrm{0,889})$

$P(38<\bar{X}<41)=P({\displaystyle \frac{38-40}{\mathrm{0,889}}}<Z<{\displaystyle \frac{41-40}{\mathrm{0,889}}})=P(-\mathrm{2,25}<Z<\mathrm{1,13})$

$=P(Z<\mathrm{1,13})-P(Z<-\mathrm{2,25})=P(Z<\mathrm{1,13})-[1-P(Z<\mathrm{2,25})]$

$=\mathrm{0,8708}-(1-\mathrm{0,9878})=\mathrm{0,8708}-\mathrm{0,0122}=\mathrm{0,8586}$

La probabilidad de que el peso medio de las 81 piñas esté entre 38 y 41 kg es $\mathrm{0,8586}$.