Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Con base en los datos proporcionados por una muestra aleatoria de una población, se desea estimar la proporción de votantes a un determinado partido político.

a) Si de una muestra de 750 personas, 300 dicen que lo votan, calcular, con un nivel de confianza del 97 %, un intervalo para la proporción de votantes de la población a ese partido.

b) Si, en otra muestra, la proporción de votantes ha sido 0,3 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,05, con un nivel de confianza del 99 %, calcular el tamaño de dicha muestra.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{750}}\mathbf{\text{personas,}}\mathbf{\text{300}}\mathbf{\text{dicen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{votan,}}\mathbf{\text{calcular,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{votantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{partido.}}$

Calculamos la proporción muestral.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{300}{750}}=\mathrm{0,4}\widehat{q}=\mathrm{0,6}$

Para una confianza del 97 % es $\alpha =\mathrm{0,03}$ y el valor que deja a su izquierda $\mathrm{0,985}$ es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$.

$E=\mathrm{2,17}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}{750}}}=\mathrm{2,17}\cdot \mathrm{0,0179}=\mathrm{0,0388}$

$I{C}_{97\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,4}-\mathrm{0,0388},\mathrm{0,4}+\mathrm{0,0388})=(\mathrm{0,3612},\mathrm{0,4388})$

Con una confianza del 97 %, la proporción de votantes de ese partido está entre $\mathrm{0,3612}$ y $\mathrm{0,4388}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{muestra,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{votantes}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{0,3}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{0,05,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{muestra.}}$

Se despeja el tamaño muestral de la fórmula del error, con $\widehat{p}=\mathrm{0,3}$, $E=\mathrm{0,05}$ y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,575}$.

$n={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}^2\cdot \widehat{p}\widehat{q}}{E^2}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{2,575}}^2\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}}{{\mathrm{0,05}}^2}}$

$n={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6306}\cdot \mathrm{0,21}}{\mathrm{0,0025}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,3924}}{\mathrm{0,0025}}}=\mathrm{556,97}$

Como el error tiene que quedar por debajo de 0,05, se toma el entero inmediatamente superior: la muestra fue de al menos $557$ personas.