Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En la primera fase de un examen de oposición, se realiza un test que consta de 90 preguntas a contestar verdadero o falso. Se aprueba si se contestan correctamente al menos 50 preguntas. Un opositor, para responder, lanza una moneda y contesta verdadero si sale cara y falso si sale cruz. Hallar:

a) Probabilidad de aprobar el examen.

b) Probabilidad de acertar más de 51 y menos de 60 preguntas.

c) Probabilidad de acertar a lo sumo 40 preguntas.

Sea $X$ el número de preguntas acertadas por el opositor. Como responde lanzando una moneda, acierta cada pregunta con probabilidad $\mathrm{0,5}$ e independientemente de las demás, de modo que $X\sim B(90;\mathrm{0,5})$.

$\mu =90\cdot \mathrm{0,5}=45\sigma =\sqrt{90\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}=\sqrt{\mathrm{22,5}}=\mathrm{4,74}$

Como $np=45>5$ y $nq=45>5$, la binomial se aproxima por la normal $X^{\mathrm{\prime }}\sim N(45;\mathrm{4,74})$, con corrección de continuidad.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen.}}$

Se aprueba con 50 preguntas correctas o más.

$P(X\ge 50)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\ge \mathrm{49,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{49,5}-45}{\mathrm{4,74}}})=P(Z\ge \mathrm{0,95})$

$=1-P(Z<\mathrm{0,95})=1-\mathrm{0,8289}=\mathrm{0,1711}$

La probabilidad de aprobar el examen contestando al azar es $\mathrm{0,1711}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acertar}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{51}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{preguntas.}}$

Acertar más de 51 y menos de 60 significa entre 52 y 59 preguntas.

$P(52\le X\le 59)\approx P(\mathrm{51,5}\le X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{59,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{51,5}-45}{\mathrm{4,74}}}\le Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{59,5}-45}{\mathrm{4,74}}})=P(\mathrm{1,37}\le Z\le \mathrm{3,06})$

$=P(Z\le \mathrm{3,06})-P(Z\le \mathrm{1,37})=\mathrm{0,9989}-\mathrm{0,9147}=\mathrm{0,0842}$

La probabilidad de acertar más de 51 y menos de 60 preguntas es $\mathrm{0,0842}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acertar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{sumo}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{preguntas.}}$

$P(X\le 40)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{40,5})=P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{40,5}-45}{\mathrm{4,74}}})=P(Z\le -\mathrm{0,95})$

Por la simetría de la campana,

$P(Z\le -\mathrm{0,95})=1-P(Z\le \mathrm{0,95})=1-\mathrm{0,8289}=\mathrm{0,1711}$

La probabilidad de acertar como mucho 40 preguntas es $\mathrm{0,1711}$, la misma que la de aprobar: los dos sucesos son simétricos respecto de las 45 preguntas, que es la media.