Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

A partir de una muestra de 81 adultos, se estima que la media de horas semanales dedicadas a hacer ejercicio está entre 3,608 y 4,392 horas (ambos incluidos). Suponiendo hipótesis de normalidad, con una desviación típica de ${\displaystyle \frac{9}{5}}$ horas:

a) ¿Cuál es la media muestral obtenida?

b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?

c) Usando la estimación puntual de la media de horas semanales dedicadas a hacer ejercicio obtenida en el apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que la media de horas semanales dedicadas por 16 adultos a hacer ejercicio sea mayor o igual que 4,1 horas?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{obtenida?}}$

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto de la media muestral, que es por tanto su centro.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,608}+\mathrm{4,392}}{2}}=4$

La media muestral obtenida es de $4$ horas semanales.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{utilizado?}}$

La semiamplitud del intervalo es el error de estimación.

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{4,392}-\mathrm{3,608}}{2}}=\mathrm{0,392}$

De la fórmula del error se despeja el valor crítico.

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{E\sqrt{n}}{\sigma }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,392}\cdot \sqrt{81}}{{\displaystyle \frac{9}{5}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,392}\cdot 9}{\mathrm{1,8}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,528}}{\mathrm{1,8}}}=\mathrm{1,96}$

Buscando $\mathrm{1,96}$ en la tabla de la $N(0,1)$ resulta $P(Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$, de donde

$1-\alpha =2\cdot \mathrm{0,975}-1=\mathrm{0,95}$

El nivel de confianza utilizado es del $95$ %.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Usando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{semanales}}\mathbf{\text{dedicadas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{ejercicio}}\mathbf{\text{obtenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{a),}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{semanales}}\mathbf{\text{dedicadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{16}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{ejercicio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{4,1}}\mathbf{\text{horas?}}$

Con $\mu =4$, $\sigma =\mathrm{1,8}$ y $n=16$, la media muestral se distribuye

$\bar{X}\sim N(4,{\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}}{\sqrt{16}}})=N(4;\mathrm{0,45})$

$P(\bar{X}\ge \mathrm{4,1})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{4,1}-4}{\mathrm{0,45}}})=P(Z\ge \mathrm{0,22})$

$=1-P(Z<\mathrm{0,22})=1-\mathrm{0,5871}=\mathrm{0,4129}$

La probabilidad de que la media de los 16 adultos sea de 4,1 horas o más es $\mathrm{0,4129}$.