Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se ha realizado una encuesta a los 20000 estudiantes de la universidad sobre su actitud ante el botellón. De ellos, 13200 son partidarios y el resto no. Conocida esta cifra, el vicerrectorado de cultura va a organizar 100 charlas informativas sobre este tema, a cada una de las cuales asistirán 30 estudiantes de la universidad elegidos al azar.

a) Calcular la proporción de estudiantes partidarios del botellón en la universidad. ¿Cuál es la distribución de probabilidad aproximada de la proporción de estudiantes partidarios del botellón en las charlas?

b) Ha comenzado una de estas charlas. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los asistentes haya más de 21 alumnos favorables al botellón?

c) ¿En cuántas charlas cabe esperar que haya más de 15 y menos de 19 estudiantes partidarios del botellón?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{partidarios}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{botell}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{universidad.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{aproximada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{partidarios}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{botell}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{charlas?}}$

La proporción poblacional se obtiene directamente de los datos de la universidad.

$p={\displaystyle \frac{13200}{20000}}=\mathrm{0,66}q=\mathrm{0,34}$

Para muestras de tamaño $n=30$, la proporción muestral sigue aproximadamente una distribución normal de media $p$ y desviación típica $\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}$.

$\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,66}\cdot \mathrm{0,34}}{30}}}=\sqrt{\mathrm{0,00748}}=\mathrm{0,0865}$

$\widehat{p}\sim N(\mathrm{0,66};\mathrm{0,0865})$

La proporción de estudiantes partidarios del botellón es $\mathrm{0,66}$ y, en las charlas de 30 asistentes, la proporción muestral se distribuye aproximadamente como $N(\mathrm{0,66};\mathrm{0,0865})$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Ha}}\mathbf{\text{comenzado}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{charlas.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{asistentes}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{21}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{favorables}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{botell}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

Sea $X$ el número de asistentes favorables entre los 30, con $X\sim B(30;\mathrm{0,66})$.

$\mu =30\cdot \mathrm{0,66}=\mathrm{19,8}\sigma =\sqrt{30\cdot \mathrm{0,66}\cdot \mathrm{0,34}}=\sqrt{\mathrm{6,732}}=\mathrm{2,59}$

Como $np=\mathrm{19,8}>5$ y $nq=\mathrm{10,2}>5$, aproximamos por la normal $X^{\mathrm{\prime }}\sim N(\mathrm{19,8};\mathrm{2,59})$ con corrección de continuidad.

$P(X>21)=P(X\ge 22)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\ge \mathrm{21,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{21,5}-\mathrm{19,8}}{\mathrm{2,59}}})=P(Z\ge \mathrm{0,66})$

$=1-P(Z<\mathrm{0,66})=1-\mathrm{0,7454}=\mathrm{0,2546}$

La probabilidad de que en una charla haya más de 21 alumnos favorables al botellón es $\mathrm{0,2546}$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{charlas}}\mathbf{\text{cabe}}\mathbf{\text{esperar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{19}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{partidarios}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{botell}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

Que haya más de 15 y menos de 19 significa entre 16 y 18 asistentes favorables.

$P(16\le X\le 18)\approx P(\mathrm{15,5}\le X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{18,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{15,5}-\mathrm{19,8}}{\mathrm{2,59}}}\le Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{18,5}-\mathrm{19,8}}{\mathrm{2,59}}})=P(-\mathrm{1,66}\le Z\le -\mathrm{0,50})$

Por la simetría de la campana,

$=P(\mathrm{0,50}\le Z\le \mathrm{1,66})=\mathrm{0,9515}-\mathrm{0,6915}=\mathrm{0,26}$

El número esperado de charlas es esa probabilidad por el total de charlas.

$100\cdot \mathrm{0,26}=26$

Cabe esperar que en $26$ de las 100 charlas haya más de 15 y menos de 19 estudiantes partidarios del botellón.