Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Se ha observado que el número de horas que dedican a caminar cada semana las personas adultas que viven en Canarias sigue una distribución normal de media 5,25 horas, con una desviación típica de 1,25 horas. En esta población:

a) Se elige una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana dedique a caminar más de 6 horas?

b) Calcula la probabilidad de que el número medio de horas semanales dedicadas a caminar por una muestra de 64 personas sea inferior a 5 horas.

c) En una muestra de 1000 personas, ¿cuál es el número esperado de personas que caminan al menos 5,5 horas a la semana?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{dedique}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{caminar}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{horas?}}$

El número de horas semanales es $X\sim N(\mathrm{5,25};\mathrm{1,25})$.

$P(X>6)=P(Z>{\displaystyle \frac{6-\mathrm{5,25}}{\mathrm{1,25}}})=P(Z>\mathrm{0,6})$

$=1-P(Z\le \mathrm{0,6})=1-\mathrm{0,7257}=\mathrm{0,2743}$

La probabilidad de que una persona dedique a caminar más de 6 horas semanales es $\mathrm{0,2743}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{semanales}}\mathbf{\text{dedicadas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{caminar}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{64}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{horas.}}$

Para una muestra de tamaño $n=64$ de una población normal,

$\bar{X}\sim N(\mathrm{5,25},{\displaystyle \frac{\mathrm{1,25}}{\sqrt{64}}})=N(\mathrm{5,25};\mathrm{0,15625})$

$P(\bar{X}<5)=P(Z<{\displaystyle \frac{5-\mathrm{5,25}}{\mathrm{0,15625}}})=P(Z<-\mathrm{1,6})$

Por la simetría de la campana,

$P(Z<-\mathrm{1,6})=1-P(Z\le \mathrm{1,6})=1-\mathrm{0,9452}=\mathrm{0,0548}$

La probabilidad de que la media de las 64 personas sea inferior a 5 horas es $\mathrm{0,0548}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1000}}\mathbf{\text{personas,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{esperado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{caminan}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{5,5}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{semana?}}$

Volvemos a la variable individual para calcular la proporción de personas que caminan 5,5 horas o más.

$P(X\ge \mathrm{5,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{5,5}-\mathrm{5,25}}{\mathrm{1,25}}})=P(Z\ge \mathrm{0,2})$

$=1-P(Z<\mathrm{0,2})=1-\mathrm{0,5793}=\mathrm{0,4207}$

$1000\cdot \mathrm{0,4207}=\mathrm{420,7}$

Se espera que unas $421$ de las 1000 personas caminen al menos 5,5 horas a la semana.