Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En un estudio realizado por el Departamento de Estadística e Investigación Operativa de una Universidad se lee el siguiente informe: «Se ha tomado una muestra del número de fotocopias (en miles), realizadas en 16 departamentos de la Universidad en una semana, y el intervalo de confianza al 95 % para el número medio de fotocopias ha sido $[\mathrm{17,9},\mathrm{24,1}]$». Según esta información:

a) ¿Cuál fue el número medio muestral de fotocopias?

b) ¿Cuál fue la desviación típica?

c) Determinar un intervalo de confianza al 90 % para el número medio de fotocopias (en miles).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fotocopias?}}$

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto de la media muestral, que es por tanto su centro.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{17,9}+\mathrm{24,1}}{2}}=21$

El número medio muestral fue de $21$ miles de fotocopias.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica?}}$

La semiamplitud del intervalo es el error de estimación.

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{24,1}-\mathrm{17,9}}{2}}=\mathrm{3,1}$

Para una confianza del 95 % es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$, y de la fórmula del error se despeja la desviación típica.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \sigma ={\displaystyle \frac{E\sqrt{n}}{z_{\alpha \mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,1}\cdot \sqrt{16}}{\mathrm{1,96}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{12,4}}{\mathrm{1,96}}}=\mathrm{6,3265}$

La desviación típica fue de $\mathrm{6,3265}$ miles de fotocopias.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fotocopias}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{miles).}}$

Con los mismos datos muestrales y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$, que es el valor que deja a su izquierda $\mathrm{0,95}$:

$E=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{6,3265}}{\sqrt{16}}}=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{1,5816}=\mathrm{2,6018}$

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(\mu )=(21-\mathrm{2,6018},21+\mathrm{2,6018})=(\mathrm{18,3982},\mathrm{23,6018})$

Con una confianza del 90 %, el número medio de fotocopias está entre $\mathrm{18,3982}$ y $\mathrm{23,6018}$ miles. Al rebajar la confianza, el intervalo resulta más estrecho que el del 95 %.