Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Durante los últimos 15 meses se ha consumido agua de un depósito (en decenas de miles de metros cúbicos) según la siguiente función:

$c(m)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{10}}(m^2-9m+30)& 0\le m<10\\ {\displaystyle \frac{1}{5}}(m^2-25m+170)& 10\le m\le 15\end{array}$

a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, decir si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.

b) ¿Cuándo se alcanzaron los consumos mínimos y máximos? ¿Cuáles fueron los correspondientes valores?

c) ¿Cuándo el consumo fue igual a 10 millones de litros ($10.000{\text{m}}^3$)?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Justificando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{respuestas,}}\mathbf{\text{decir}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{creciente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{decreciente.}}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar el empalme $m=10$.

${\lim }_{m\to {10}^{-}}c(m)={\displaystyle \frac{1}{10}}(100-90+30)={\displaystyle \frac{40}{10}}=4$

${\lim }_{m\to {10}^{+}}c(m)={\displaystyle \frac{1}{5}}(100-250+170)={\displaystyle \frac{20}{5}}=4$

Como $c(10)=4$ y los dos límites laterales valen $4$, la función es continua en todo el intervalo $[0,15]$.

Derivamos cada trozo y buscamos los puntos críticos.

$c^{\mathrm{\prime }}(m)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{10}}(2m-9),& 0\le m<10\\ {\displaystyle \frac{1}{5}}(2m-25),& 10<m\le 15\end{array}$

$2m-9=0\Rightarrow m=\mathrm{4,5}\in [0,10)2m-25=0\Rightarrow m=\mathrm{12,5}\in (10,15]$

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $m=2$, $c^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{4-9}{10}}<0$: el consumo decrece.
Si $m=8$, $c^{\mathrm{\prime }}(8)={\displaystyle \frac{16-9}{10}}>0$: el consumo crece.
Si $m=11$, $c^{\mathrm{\prime }}(11)={\displaystyle \frac{22-25}{5}}<0$: el consumo decrece.
Si $m=14$, $c^{\mathrm{\prime }}(14)={\displaystyle \frac{28-25}{5}}>0$: el consumo crece.



El consumo decrece en $(0;\mathrm{4,5})$ y en $(10;\mathrm{12,5})$, y crece en $(\mathrm{4,5};10)$ y en $(\mathrm{12,5};15)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzaron}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{consumos}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{fueron}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{correspondientes}}\mathbf{\text{valores?}}$

Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$c(0)={\displaystyle \frac{30}{10}}=3c(\mathrm{4,5})={\displaystyle \frac{1}{10}}(\mathrm{20,25}-\mathrm{40,5}+30)={\displaystyle \frac{\mathrm{9,75}}{10}}=\mathrm{0,975}$

$c(10)=4c(\mathrm{12,5})={\displaystyle \frac{1}{5}}(\mathrm{156,25}-\mathrm{312,5}+170)={\displaystyle \frac{\mathrm{13,75}}{5}}=\mathrm{2,75}$

$c(15)={\displaystyle \frac{1}{5}}(225-375+170)={\displaystyle \frac{20}{5}}=4$

El consumo mínimo se alcanzó en el mes $\mathrm{4,5}$, con $\mathrm{0,975}$ decenas de miles de metros cúbicos, es decir, $9750{\text{m}}^3$. El consumo máximo, de $4$ decenas de miles de metros cúbicos, o sea $40000{\text{m}}^3$, se alcanzó dos veces: en el mes $10$ y en el mes $15$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{millones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{litros}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">10.000</mn><mtext> </mtext><msup><mtext>m</mtext><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msup><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{?}}$

Como la función viene dada en decenas de miles de metros cúbicos, $10000{\text{m}}^3$ corresponden a $c(m)=1$. Resolvemos la ecuación en cada trozo.

En el primer trozo:

${\displaystyle \frac{1}{10}}(m^2-9m+30)=1\Rightarrow m^2-9m+30=10\Rightarrow m^2-9m+20=0$

$m={\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}}={\displaystyle \frac{9\pm 1}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=4\\ m=5\end{array}$

Los dos valores pertenecen a $[0,10)$.

En el segundo trozo:

${\displaystyle \frac{1}{5}}(m^2-25m+170)=1\Rightarrow m^2-25m+165=0$

$\mathrm{\Delta }=625-660=-35<0$

No hay solución real, así que este trozo no aporta ningún mes.

El consumo fue de 10 millones de litros en los meses $4$ y $5$.