Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Mi despertador no funciona muy bien, pues el 20 % de las veces no suena. Cuando suena, llego tarde a clase el 20 % de las veces; pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0,9.

a) Represente el diagrama de árbol del problema. [0,5 puntos]

b) Justifique si el porcentaje de veces que llego tarde a clase y ha sonado el despertador es mayor que el 20 %. [0,75 puntos]

c) Justifique si la probabilidad de que no llegue tarde a clase es menor que 0,5. [0,75 puntos]

d) Si un día llego tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador? [0,5 puntos]

Nombrando los sucesos:

$S \equiv$ suena el despertador

$T \equiv$ llego tarde a clase

Del enunciado se leen la probabilidad de que el despertador no suene y las dos probabilidades condicionadas de llegar tarde:

$P\left(\overline{S}\right)=0{,}2\Rightarrow P(S)=0{,}8$

$P(T\,|\,S)=0{,}2,\qquad P\left(T\,|\,\overline{S}\right)=0{,}9$

$\textbf{a) Represente el diagrama de árbol del problema. [0,5 puntos]}$



$\textbf{b) Justifique si el porcentaje de veces que llego tarde a clase y ha sonado el despertador es mayor que el 20 \%. [0,75 puntos]}$

Se pide la probabilidad de que ocurran las dos cosas a la vez, que es la rama del árbol que baja por $S$ y sigue por $T$; sus dos etapas se multiplican.

$P(S\cap T)=P(S)\cdot P(T\,|\,S)=0{,}8\cdot 0{,}2=0{,}16$

El porcentaje de veces que suena el despertador y aun así llego tarde es del $16\ \%$, que no llega al $20\ \%$. La afirmación es falsa.

$\textbf{c) Justifique si la probabilidad de que no llegue tarde a clase es menor que 0,5. [0,75 puntos]}$

Calculamos primero la probabilidad de llegar tarde con el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que terminan en $T$, y después pasamos al suceso contrario.

$P(T)=P(S)\cdot P(T\,|\,S)+P\left(\overline{S}\right)\cdot P\left(T\,|\,\overline{S}\right)$

$=0{,}8\cdot 0{,}2+0{,}2\cdot 0{,}9=0{,}16+0{,}18=0{,}34$

$P\left(\overline{T}\right)=1-P(T)=1-0{,}34=0{,}66$

La probabilidad de no llegar tarde es $0{,}66$, mayor que $0{,}5$. La afirmación es falsa.

$\textbf{d) Si un día llego tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador? [0,5 puntos]}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, de modo que se aplica el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(S\,|\,T)=\dfrac{P(S\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}16}{0{,}34}=\dfrac{8}{17}\approx 0{,}4706$

Sabiendo que un día he llegado tarde, la probabilidad de que el despertador hubiera sonado es $\dfrac{8}{17}\approx 0{,}4706$, esto es, un $47{,}06\ \%$: pese a que el despertador suena la mayoría de los días, casi la mitad de los retrasos se producen con él sonando.