Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En cierto instituto el 50 % de su alumnado lleva el desayuno desde casa, el 40 % lo compra en la cafetería del instituto, y el resto lo adquiere en un bazar cercano al instituto. Solamente un 5 % de los desayunos que se llevan desde casa incluyen bebidas azucaradas, pero en los desayunos comprados en la cafetería este porcentaje es del 60 % y en los desayunos comprados en el bazar del 80 %.

a) Construya el árbol de probabilidades descrito en el enunciado. [0,5 puntos]

b) Justifique si es cierto que más de un 30 % de los desayunos del alumnado incluyen bebidas azucaradas. [1 punto]

c) Justifique si es cierto que, elegido un desayuno al azar, la probabilidad de que un estudiante lo haya traído desde casa, sabiendo que el desayuno incluye una bebida azucarada, es mayor que 0,1. [1 punto]

Nombrando los sucesos:

$C \equiv$ el desayuno se lleva desde casa

$F \equiv$ el desayuno se compra en la cafetería

$Z \equiv$ el desayuno se compra en el bazar

$B \equiv$ el desayuno incluye bebida azucarada

Los tres orígenes forman un sistema completo de sucesos: como el resto del alumnado compra el desayuno en el bazar,

$P(C)=0{,}5,\qquad P(F)=0{,}4,\qquad P(Z)=1-0{,}5-0{,}4=0{,}1$

$\textbf{a) Construya el árbol de probabilidades descrito en el enunciado. [0,5 puntos]}$

En cada origen el enunciado da la proporción de desayunos con bebida azucarada; la de los que no la llevan es su complementaria.



$\textbf{b) Justifique si es cierto que más de un 30 \% de los desayunos del alumnado incluyen bebidas azucaradas. [1 punto]}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en $B$.

$P(B)=P(C)\cdot P(B\,|\,C)+P(F)\cdot P(B\,|\,F)+P(Z)\cdot P(B\,|\,Z)$

$=0{,}5\cdot 0{,}05+0{,}4\cdot 0{,}6+0{,}1\cdot 0{,}8$

$=0{,}025+0{,}24+0{,}08=0{,}345$

Un $34{,}5\ \%$ de los desayunos incluye bebida azucarada, que es más del $30\ \%$. La afirmación es cierta.

$\textbf{c) Justifique si es cierto que, elegido un desayuno al azar, la probabilidad de que un estudiante lo haya traído desde casa, sabiendo que el desayuno incluye una bebida azucarada, es mayor que 0,1. [1 punto]}$

Se conoce el efecto —el desayuno lleva bebida azucarada— y se pregunta por la causa, así que se aplica el teorema de Bayes. En el denominador va la probabilidad total calculada en el apartado anterior.

$P(C\,|\,B)=\dfrac{P(C)\cdot P(B\,|\,C)}{P(B)}=\dfrac{0{,}5\cdot 0{,}05}{0{,}345}=\dfrac{0{,}025}{0{,}345}$

$=\dfrac{5}{69}\approx 0{,}0725$

La probabilidad es $0{,}0725$, menor que $0{,}1$, de modo que la afirmación es falsa. El resultado es coherente con los datos: los desayunos traídos de casa son los que menos bebidas azucaradas incluyen, así que apenas aportan casos a ese grupo.