Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Tenemos una caja con bolas de madera y de plástico de distintos colores, pero con el mismo tamaño y aspecto. Contamos con la siguiente información de su contenido:

— El 38 % son bolas azules y, de este color, la mitad son de madera.

— El 29 % son bolas rojas y, de este color, las tres cuartas partes son de madera.

— El 33 % son bolas verdes y, de este color, dos tercios son de madera.

Extraemos una bola de la caja. Responda a las siguientes preguntas:

a) Construya el árbol de probabilidades. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que, al sacar una bola al azar de la caja, esta sea de madera. [1 punto]

c) Si la bola extraída de la caja es de plástico, ¿qué probabilidad hay de que sea de color rojo? [1 punto]

Nombrando los sucesos:

$A \equiv$ la bola extraída es azul

$R \equiv$ la bola extraída es roja

$V \equiv$ la bola extraída es verde

$M \equiv$ la bola extraída es de madera

$P \equiv$ la bola extraída es de plástico

Los tres colores forman un sistema completo de sucesos, ya que sus porcentajes suman el total:

$P(A)=0{,}38,\qquad P(R)=0{,}29,\qquad P(V)=0{,}33$

$\textbf{a) Construya el árbol de probabilidades. [0,5 puntos]}$

En cada color el enunciado da la proporción de bolas de madera; la de plástico es su complementaria.



$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que, al sacar una bola al azar de la caja, esta sea de madera. [1 punto]}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en $M$.

$P(M)=P(A)\cdot P(M\,|\,A)+P(R)\cdot P(M\,|\,R)+P(V)\cdot P(M\,|\,V)$

$=0{,}38\cdot\dfrac{1}{2}+0{,}29\cdot\dfrac{3}{4}+0{,}33\cdot\dfrac{2}{3}$

$=0{,}19+0{,}2175+0{,}22=0{,}6275$

La probabilidad de que la bola extraída sea de madera es $0{,}6275$, es decir, un $62{,}75\ \%$.

$\textbf{c) Si la bola extraída de la caja es de plástico, ¿qué probabilidad hay de que sea de color rojo? [1 punto]}$

Se conoce el material y se pregunta por el color, es decir, se va del efecto a la causa: se aplica el teorema de Bayes. En el denominador va la probabilidad de que la bola sea de plástico, complementaria de la del apartado anterior.

$P(P)=1-P(M)=1-0{,}6275=0{,}3725$

$P(R\cap P)=P(R)\cdot P(P\,|\,R)=0{,}29\cdot\dfrac{1}{4}=0{,}0725$

$P(R\,|\,P)=\dfrac{P(R\cap P)}{P(P)}=\dfrac{0{,}0725}{0{,}3725}=\dfrac{29}{149}\approx 0{,}1946$

Si la bola extraída es de plástico, la probabilidad de que sea roja es $\dfrac{29}{149}\approx 0{,}1946$, esto es, un $19{,}46\ \%$.