Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Aythami tiene un sobre donde guarda el dinero que ha podido reunir; el sobre contiene 4 billetes de 5 €, 6 billetes de 10 € y 2 billetes de 50 €. Quiere comprar algunas cosas y decide dejar al azar cuánto dinero va a coger del sobre. Para ello, saca aleatoriamente, sin reemplazamiento y de forma consecutiva, dos billetes del sobre.

a) Exprese el espacio muestral del experimento que va a realizar Aythami. [0,5 puntos]

b) Si se quiere comprar un videojuego que cuesta 57 €, ¿qué probabilidad hay de que pueda hacerlo con los billetes que saca del sobre? [1 punto]

c) Si al final obtiene, con este experimento, 60 € del sobre, ¿qué probabilidad hay de que el primer billete fuera de 10 €? [1 punto]

En el sobre hay $4+6+2=12$ billetes y se extraen dos, uno tras otro y sin devolver el primero. Nombrando los sucesos por el valor del billete que sale en cada extracción, las probabilidades de la primera son:

$P(5)=\dfrac{4}{12},\qquad P(10)=\dfrac{6}{12},\qquad P(50)=\dfrac{2}{12}$

y en la segunda quedan 11 billetes, uno menos del valor que haya salido antes. El árbol del problema es:



$\textbf{a) Exprese el espacio muestral del experimento que va a realizar Aythami. [0,5 puntos]}$

Los billetes se sacan de forma consecutiva, así que cada resultado es un par ordenado formado por el valor del primer billete y el del segundo. Con tres valores posibles en cada extracción salen nueve resultados:

$E=\{(5,5),(5,10),(5,50),(10,5),(10,10),(10,50),(50,5),(50,10),(50,50)\}$

Las cantidades de dinero que puede llegar a coger son, respectivamente, 10, 15, 55, 15, 20, 60, 55, 60 y 100 euros.

$\textbf{b) Si se quiere comprar un videojuego que cuesta 57 €, ¿qué probabilidad hay de que pueda hacerlo con los billetes que saca del sobre? [1 punto]}$

Podrá comprar el videojuego si la suma de los dos billetes llega a 57 €. Repasando la lista anterior, los únicos resultados que lo consiguen son los que suman 60 € y el que suma 100 €; los tres son incompatibles entre sí, de modo que sus probabilidades se suman.

$P(10,50)=\dfrac{6}{12}\cdot\dfrac{2}{11}=\dfrac{12}{132}$

$P(50,10)=\dfrac{2}{12}\cdot\dfrac{6}{11}=\dfrac{12}{132}$

$P(50,50)=\dfrac{2}{12}\cdot\dfrac{1}{11}=\dfrac{2}{132}$

$P(\text{suma}\ge 57)=\dfrac{12}{132}+\dfrac{12}{132}+\dfrac{2}{132}=\dfrac{26}{132}=\dfrac{13}{66}\approx 0{,}1970$

La probabilidad de que Aythami pueda comprar el videojuego es $\dfrac{13}{66}\approx 0{,}1970$, es decir, un $19{,}70\ \%$.

$\textbf{c) Si al final obtiene, con este experimento, 60 € del sobre, ¿qué probabilidad hay de que el primer billete fuera de 10 €? [1 punto]}$

Se conoce el resultado final y se pregunta por lo ocurrido en la primera etapa, así que se aplica el teorema de Bayes. Los 60 € solo se alcanzan de dos maneras, y en el numerador va únicamente la que empieza por el billete de 10 €.

$P(\text{suma}=60)=P(10,50)+P(50,10)=\dfrac{12}{132}+\dfrac{12}{132}=\dfrac{24}{132}=\dfrac{2}{11}$

$P\left(\text{1.\!º}=10\,|\,\text{suma}=60\right)=\dfrac{P(10,50)}{P(\text{suma}=60)}=\dfrac{\ \dfrac{12}{132}\ }{\dfrac{24}{132}}=\dfrac{1}{2}$

Sabiendo que ha sacado 60 €, la probabilidad de que el primer billete fuera de 10 € es $\dfrac{1}{2}$, es decir, un $50\ \%$. El resultado es razonable: las dos únicas formas de reunir 60 € son igual de probables, porque llevan los mismos dos billetes en distinto orden.