Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Se está desarrollando una prueba para detectar una enfermedad rara que afecta al 1 % de la población adulta. Se sabe que la sensibilidad de la prueba (dar positivo cuando la persona está enferma) es del 95 %, y la especificidad de la prueba (dar negativo cuando la persona está sana) es del 98 %. Se selecciona al azar un individuo de la población:

a) Si se somete a la prueba de diagnóstico, calcule la probabilidad de que esté realmente enfermo cuando la prueba da positivo. [1,5 puntos]

b) Si una población de 35 000 individuos se somete a la prueba, ¿podríamos afirmar que se espera que habrá más de 50 personas que estarán enfermas, aun cuando han obtenido un resultado negativo en el test? [1 punto]

Nombrando los sucesos:

$E \equiv$ el individuo está enfermo

$S \equiv$ el individuo está sano

$P \equiv$ la prueba da positivo

$N \equiv$ la prueba da negativo

Del enunciado se leen la prevalencia de la enfermedad, la sensibilidad y la especificidad, y de ellas se deducen las probabilidades complementarias:

$P(E)=0{,}01,\qquad P(S)=0{,}99$

$P(P\,|\,E)=0{,}95,\qquad P(N\,|\,E)=0{,}05$

$P(N\,|\,S)=0{,}98,\qquad P(P\,|\,S)=0{,}02$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) Si se somete a la prueba de diagnóstico, calcule la probabilidad de que esté realmente enfermo cuando la prueba da positivo. [1,5 puntos]}$

Se conoce el resultado de la prueba y se pregunta por el estado del individuo, es decir, se va del efecto a la causa: se aplica el teorema de Bayes. El denominador es la probabilidad total de dar positivo, que reúne las dos ramas del árbol que terminan en $P$.

$P(E\,|\,P)=\dfrac{P(E)\cdot P(P\,|\,E)}{P(E)\cdot P(P\,|\,E)+P(S)\cdot P(P\,|\,S)}$

$=\dfrac{0{,}01\cdot 0{,}95}{0{,}01\cdot 0{,}95+0{,}99\cdot 0{,}02}=\dfrac{0{,}0095}{0{,}0095+0{,}0198}$

$=\dfrac{0{,}0095}{0{,}0293}=\dfrac{95}{293}\approx 0{,}3242$

Aunque la prueba parezca muy fiable, solo alrededor de un tercio de los positivos corresponden a personas realmente enfermas: la probabilidad pedida es $0{,}3242$, un $32{,}42\ \%$. La razón es que la enfermedad es rara, de modo que los falsos positivos de la enorme población sana superan en número a los verdaderos positivos.

$\textbf{b) Si una población de 35 000 individuos se somete a la prueba, ¿podríamos afirmar que se espera que habrá más de 50 personas que estarán enfermas, aun cuando han obtenido un resultado negativo en el test? [1 punto]}$

Las personas que interesan son las que están enfermas y además dan negativo, es decir, los falsos negativos. Esa es la rama del árbol que baja por $E$ y sigue por $N$.

$P(E\cap N)=P(E)\cdot P(N\,|\,E)=0{,}01\cdot 0{,}05=0{,}0005$

El número esperado de individuos en esa situación es el producto de esa probabilidad por el tamaño de la población.

$35\,000\cdot 0{,}0005=17{,}5$

No se puede afirmar: se esperan unos 17 o 18 falsos negativos en la población de 35 000 individuos, bastantes menos de las 50 personas que sugiere el enunciado.