Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

En una feria, un participante tiene la oportunidad de ganar premios eligiendo entre tres cajas sorpresa: una con premio y dos vacías. Hay una regla especial si se selecciona una caja vacía:

En caso de elegir una caja sin premio, se debe extraer una bola al azar de una urna compuesta por 2 bolas verdes y 3 negras, de idéntica forma y tamaño. Si se elige la bola negra, finaliza la jugada sin premio. Si se elige la bola verde, tendrá la oportunidad de elegir una nueva caja, de las dos cajas no seleccionadas anteriormente, y acabaría la jugada.

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Dibuje un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos de este juego. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de obtener premio en este juego. [1 punto]

c) Si el participante ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido una bola verde en la urna? [1 punto]

Nombrando los sucesos:

$P \equiv$ elegir la caja con premio

$F \equiv$ elegir una caja vacía

$N \equiv$ extraer bola negra de la urna

$V \equiv$ extraer bola verde de la urna

$\textbf{a) Dibuje un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos de este juego. [0,5 puntos]}$

En la primera elección hay tres cajas y solo una con premio, de modo que $P(P)=\dfrac{1}{3}$ y $P(F)=\dfrac{2}{3}$. Si la caja está vacía se pasa a la urna, con 2 bolas verdes y 3 negras sobre un total de 5. Si sale verde queda una segunda elección entre las dos cajas no abiertas, una de las cuales tiene el premio, así que en esa etapa la probabilidad de acertar es $\dfrac{1}{2}$.

Las ramas del juego no tienen todas la misma longitud, porque quien acierta de entrada ya no extrae bola ni vuelve a elegir. Recorriendo cada camino hasta el final y multiplicando las etapas que lo componen, los cuatro casos posibles del juego, con su probabilidad, son:



Las cuatro probabilidades suman 1, como debe ocurrir al recoger todos los casos posibles:

$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{2}{15}=\dfrac{5+6+2+2}{15}=1$

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de obtener premio en este juego. [1 punto]}$

Solo hay dos ramas del árbol que terminan con premio: acertar de entrada, o fallar, sacar bola verde y acertar en la segunda elección. Al ser sucesos incompatibles, sus probabilidades se suman, y dentro de cada rama se multiplican las probabilidades de las etapas.

$P(\text{premio})=P(P)+P(F)\cdot P(V)\cdot P(P)$

$=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{15}$

$=\dfrac{5}{15}+\dfrac{2}{15}=\dfrac{7}{15}\approx 0{,}4667$

La probabilidad de obtener premio en este juego es $\dfrac{7}{15}\approx 0{,}4667$, es decir, un $46{,}67\ \%$.

$\textbf{c) Si el participante ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido una bola verde en la urna? [1 punto]}$

Se pregunta por una probabilidad condicionada en la que se conoce el efecto y se pregunta por la causa, de modo que se aplica el teorema de Bayes. El numerador es la única rama del árbol en la que aparecen a la vez la bola verde y el premio.

$P(V\,|\,\text{premio})=\dfrac{P(V\cap\text{premio})}{P(\text{premio})}$

$P(V\cap\text{premio})=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{15}$

$P(V\,|\,\text{premio})=\dfrac{\ \dfrac{2}{15}\ }{\dfrac{7}{15}}=\dfrac{2}{7}\approx 0{,}2857$

Sabiendo que el participante ha obtenido premio, la probabilidad de que haya llegado a él sacando una bola verde de la urna es $\dfrac{2}{7}\approx 0{,}2857$, esto es, un $28{,}57\ \%$.