Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2022

A 25 m de una fuente sonora que genera un frente de onda esférico se miden 84,0 dB. Calcule:

a) Los decibelios que se miden a 80 m de la fuente. [0,6 puntos]

b) La distancia de la fuente a la que se miden 85,0 dB. [0,6 puntos]

c) La reducción en decibelios de la intensidad del sonido cuando se duplica la distancia a la fuente para cualquier distancia inicial. [0,8 puntos]

Datos: $I(\text{dB})=10\log {\displaystyle \frac{I}{{10}^{-12}{\text{W m}}^{-2}}}$; $I_{1}4\pi r_1^2=I_{2}4\pi r_2^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{decibelios}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{miden}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El frente de onda es esférico y no hay absorción, de modo que la misma potencia atraviesa cualquier esfera centrada en la fuente y la intensidad va con el inverso del cuadrado de la distancia:

$I_{1}4\pi r_1^2=I_{2}4\pi r_2^2\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}={\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^2$

Restando las dos expresiones del nivel de intensidad sonora:

${\beta }_2-{\beta }_1=10\log {\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}=20\log {\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}$

${\beta }_2-{\beta }_1=20\log {\displaystyle \frac{25}{80}}=20\cdot (-\mathrm{0,505})=-\mathrm{10,1}\text{ dB}$

${\beta }_2=\mathrm{84,0}-\mathrm{10,1}=\mathrm{73,9}\text{ dB}$

A 80 m de la fuente se miden $\mathrm{73,9}\text{ dB}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{miden}}\mathbf{\text{85,0}}\mathbf{\text{dB.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se busca ahora una medida un decibelio mayor, es decir, más cerca de la fuente:

$\mathrm{85,0}-\mathrm{84,0}=20\log {\displaystyle \frac{25}{r}}$

$\log {\displaystyle \frac{25}{r}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,0}}{20}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow {\displaystyle \frac{25}{r}}={10}^{\mathrm{0,05}}=\mathrm{1,122}$

$r={\displaystyle \frac{25}{\mathrm{1,122}}}=\mathrm{22,3}\text{ m}$

Los $\mathrm{85,0}\text{ dB}$ se miden a $\mathrm{22,3}\text{ m}$ de la fuente. Basta acercarse menos de tres metros para ganar un decibelio, porque la escala es logarítmica.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{reducci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{decibelios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{duplica}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{inicial.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se repite el razonamiento con $r_2=2r_1$, sin fijar ningún valor concreto:

$\mathrm{\Delta }\beta =20\log {\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}=20\log {\displaystyle \frac{r_1}{2r_1}}=20\log {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\mathrm{\Delta }\beta =-20\cdot \mathrm{0,301}=-\mathrm{6,0}\text{ dB}$

Al duplicar la distancia el nivel baja $\mathrm{6,0}\text{ dB}$, y siempre lo mismo, sea cual sea la distancia de partida. La razón es que la intensidad se reduce a la cuarta parte y el nivel depende del logaritmo del cociente de intensidades, que solo depende de la razón entre distancias.