Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2025

Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje $X$. En la figura se tiene dos gráficas de una onda, una para $t=0$ y otra para $x=0$. A partir de dicha información determine:



a) La expresión matemática de la onda en unidades del sistema internacional. (1,5 puntos)

b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de oscilación de un punto del medio situado en $x=3\text{ cm}$ para $t=1\text{ s}$. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{internacional.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los datos se leen directamente de las dos gráficas del enunciado.

De la gráfica correspondiente a $t=0$, que es una fotografía de la onda:

$A=3\text{ cm}=\mathrm{0,03}\text{ m}$

$\lambda =4\text{ cm}=\mathrm{0,04}\text{ m}$

De la gráfica correspondiente a $x=0$, que es la oscilación de un punto:

$T=1\text{ s}\Rightarrow f={\displaystyle \frac{1}{T}}=1\text{ Hz}$

Con ello se calculan la frecuencia angular y el número de onda:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,04}}}=50\pi \text{ rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$, se escribe:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La fase inicial se obtiene imponiendo lo que valen las gráficas en el origen: para $x=0$ y $t=0$ la elongación es $-3\text{ cm}$, es decir, el mínimo.

$-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,03}\text{sen}{\phi }_0\Rightarrow \text{sen}{\phi }_0=-1\Rightarrow {\phi }_0=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

Por tanto, la función de onda en unidades del Sistema Internacional es:

$y(x,t)=\mathrm{0,03}\text{sen}(2\pi t-50\pi x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ m}$



La velocidad de propagación es la de la perturbación a lo largo de la cuerda:

$v=\lambda f=\mathrm{0,04}\cdot 1=\mathrm{0,04}\text{ m/s}$

La velocidad de oscilación es la de un punto del medio, que se mueve perpendicularmente a la propagación, y se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,03}\cdot 2\pi \cos (2\pi t-50\pi x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

Sustituyendo $x=\mathrm{0,03}\text{ m}$ y $t=1\text{ s}$:

$2\pi \cdot 1-50\pi \cdot \mathrm{0,03}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=2\pi -\mathrm{1,5}\pi -\mathrm{0,5}\pi =0\text{ rad}$

$v_y=\mathrm{0,06}\pi \cos (0)=\mathrm{0,188}\text{ m/s}$

En ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio, que es donde su velocidad es máxima: $v_{y,\max }=A\omega =\mathrm{0,188}\text{ m/s}$.