Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2024

Una cuerda tiene uno de sus extremos fijos en una pared. En el otro extremo, una persona le proporciona un movimiento vertical sinusoidal con una frecuencia de $2\text{ Hz}$ y una amplitud de $\mathrm{7,5}\text{ cm}$. La velocidad de propagación de la onda a lo largo de la cuerda es de $12\text{ m/s}$. En el instante inicial, $t=0$, el extremo sujetado por la persona se encuentra en la posición de máximo desplazamiento vertical positivo.

a) Calcule y exprese en unidades del Sistema Internacional la frecuencia angular de la onda, su periodo, su longitud de onda y su número de onda.

b) Escriba la ecuación que describe la onda.

c) Encuentre la relación entre la energía que transporta la onda en la cuerda y la que transportaría otra onda en la misma cuerda con la mitad de amplitud e igual frecuencia.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{exprese}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sistema}}\mathbf{\text{Internacional}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{periodo,}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}$

Todas las magnitudes salen de la frecuencia y de la velocidad de propagación, que son los dos datos del enunciado.

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 2=4\pi =\mathrm{12,6}\text{ rad/s}$

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}\text{ s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{12}{2}}=6\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}=\mathrm{1,05}\text{ rad/m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

La onda se propaga desde la mano de la persona hacia la pared, es decir, en el sentido positivo del eje $X$, de modo que:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La fase inicial se obtiene de la condición del enunciado: en $t=0$ el extremo que sujeta la persona, que se toma como origen $x=0$, está en su máximo desplazamiento positivo.

$y(0,0)=A\Rightarrow A\text{sen}{\phi }_0=A\Rightarrow \text{sen}{\phi }_0=1\Rightarrow {\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t)=\mathrm{0,075}\text{sen}(4\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ m}$

que también puede escribirse, de forma equivalente:

$y(x,t)=\mathrm{0,075}\cos (4\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}x)\text{ m}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{transporta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{transportar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{frecuencia.}}$

La energía que transporta una onda armónica es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\omega }^2{A}^2$

Como la cuerda es la misma y la frecuencia no cambia, el cociente solo depende de las amplitudes:

${\displaystyle \frac{E^{\mathrm{\prime }}}{E}}={\displaystyle \frac{A^{\mathrm{\prime }2}}{A^2}}={\displaystyle \frac{(A\mathrm{/}2{)}^2}{A^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

La segunda onda transporta la cuarta parte de energía que la primera: reducir la amplitud a la mitad divide la energía entre cuatro.