Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2025

Sea una fuente puntual sonora que emite en todas direcciones. Un observador situado a $4\text{ m}$ de dicha fuente mide un nivel de intensidad sonora de $49\text{ dB}$, siendo $I_0={10}^{-12}\text{ W}\mathrm{/}{\text{m}}^2$ la intensidad umbral. Calcule:

a) La intensidad sonora recibida por el observador y la potencia con la que emite la fuente puntual. (1,25 puntos)

b) La distancia a la que debe situarse el observador para que el nivel de intensidad sonora percibido se reduzca a una cuarta parte. (1,25 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{recibida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{puntual.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










El nivel de intensidad sonora se define como:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}$

Despejando la intensidad:

$I=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}$





$I={10}^{-12}\cdot {10}^{49\mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^{\mathrm{4,9}}=\mathrm{7,94}\cdot {10}^{-8}{\text{W/m}}^2$

Como la fuente es puntual y emite por igual en todas direcciones, la potencia se reparte sobre una superficie esférica de radio $r$:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}\Rightarrow P=I\cdot 4\pi r^2$

$P=\mathrm{7,94}\cdot {10}^{-8}\cdot 4\pi \cdot 4^2=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-5}\text{ W}$

El observador recibe una intensidad de $\mathrm{7,94}\cdot {10}^{-8}{\text{W/m}}^2$ y la fuente emite con una potencia de $\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-5}\text{ W}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{situarse}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{percibido}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cuarta}}\mathbf{\text{parte.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Lo que se reduce a la cuarta parte es el nivel de intensidad sonora, medido en decibelios, no la intensidad:

${\beta }^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\beta }{4}}={\displaystyle \frac{49}{4}}=\mathrm{12,25}\text{ dB}$

A ese nivel le corresponde una intensidad de:

$I^{\mathrm{\prime }}=I_0\cdot {10}^{{\beta }^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^{\mathrm{1,225}}=\mathrm{1,68}\cdot {10}^{-11}{\text{W/m}}^2$

Como la potencia de la fuente no cambia, se despeja la nueva distancia:

$I^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^{\mathrm{\prime }2}}}\Rightarrow r^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{P}{4\pi I^{\mathrm{\prime }}}}}$

$r^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-5}}{4\pi \cdot \mathrm{1,68}\cdot {10}^{-11}}}}=275\text{ m}$

El observador debe alejarse hasta unos $275\text{ m}$ de la fuente. La distancia crece tanto porque la escala de decibelios es logarítmica: dividir el nivel entre cuatro supone dividir la intensidad por más de cuatro mil.