Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2021

Se crea una onda armónica de 3 cm de amplitud en la superficie del agua de un canal. Las crestas consecutivas de la onda están separadas 20 cm y se propagan a 0,25 m/s.

a) Escriba la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha con la perturbación positiva máxima en el origen de coordenadas en $t=0$ y la ecuación particular de la onda en la superficie del agua descrita antes. [0,8 puntos]

b) Argumente cuál será el valor de la perturbación del nivel del agua de un punto de la superficie después de 0,4 s de haber estado en una cresta. [0,5 puntos]

c) Calcule el tiempo que ha de pasar desde que un punto está en una cresta hasta que se ha desplazado 4,5 cm desde la cresta hacia abajo. [0,7 puntos]

Datos: $y(x,t)=A\sin (kx\pm \omega t+\delta )$; $k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}$; $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$; $v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{k}}$.

Una onda armónica que se propaga hacia la derecha, es decir, hacia el sentido positivo del eje $X$, lleva el signo negativo en la fase:

$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\delta )$

La condición de que la perturbación sea positiva y máxima en el origen en $t=0$ obliga a que el seno valga 1:

$\sin \delta =1\Rightarrow \delta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

Ahora se identifican las magnitudes de la onda del enunciado. La longitud de onda es la separación entre crestas:

$\lambda =20\text{ cm}=\mathrm{0,20}\text{ m}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=\mathrm{31,42}\text{ rad/m}$

Y de la velocidad de propagación se obtiene el período:

$T={\displaystyle \frac{\lambda }{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{\mathrm{0,25}}}=\mathrm{0,8}\text{ s}\Rightarrow \omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=\mathrm{7,854}\text{ rad/s}$

La ecuación particular, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=\mathrm{0,03}\sin (\mathrm{31,42}x-\mathrm{7,854}t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Argumente}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{perturbaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,4}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{haber}}\mathbf{\text{estado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cresta.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada punto de la superficie describe un movimiento armónico simple de período $T=\mathrm{0,8}\text{ s}$. El tiempo que se pregunta es exactamente medio período:

$\mathrm{0,4}\text{ s}={\displaystyle \frac{T}{2}}$

En media oscilación, un punto pasa de un extremo al otro. Si estaba en una cresta, medio período después está en el valle:

$y=-A=-3\text{ cm}$

La perturbación vale $-3\text{ cm}$, es decir, el punto está 3 cm por debajo del nivel de equilibrio.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cresta}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{desplazado}}\mathbf{\text{4,5}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cresta}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{abajo.}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se toma el origen de tiempos en el instante en que el punto está en la cresta. Su elongación es entonces:

$y(t)=A\cos (\omega t)$

Bajar 4,5 cm desde la cresta significa llegar a la elongación:

$y=3-\mathrm{4,5}=-\mathrm{1,5}\text{ cm}$

Se impone esa condición:

$-\mathrm{1,5}=3\cos (\omega t)\Rightarrow \cos (\omega t)=-\mathrm{0,5}$

$\omega t=\arccos (-\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=\mathrm{2,094}\text{ rad}$

Se despeja el tiempo:

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{2,094}}{\mathrm{7,854}}}=\mathrm{0,267}\text{ s}$

Han de pasar $\mathrm{0,267}\text{ s}$, es decir, un tercio de período. El punto ha recorrido primero la amplitud entera hacia abajo y después medio radio más.