Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Una sonda de 1200 kg se aleja radialmente del centro de un planeta de $\mathrm{6,3}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$. Cuando la sonda está a 180 000 km del planeta se mueve a 1,35 km/s. Calcule:

a) Si la sonda podrá escapar de la atracción gravitatoria del planeta. [0,75 puntos]

b) La distancia de la sonda al planeta cuando se movía a 2,35 km/s. [0,75 puntos]

c) El radio en unidades astronómicas de la órbita circular de un satélite que vaya a 2,35 km/s, como la sonda. Justifique cómo se calcula el radio. [0,5 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $1\text{ ua}=149597871\text{ km}$; $E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{escapar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para escapar hay que llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con una velocidad mínima de cero. Como el campo gravitatorio es conservativo, la condición es que la energía mecánica no sea negativa.

Se calcula la energía mecánica de la sonda en el punto que da el enunciado, con $v=\mathrm{1,35}\text{ km/s}=1350\text{ m/s}$ y $r=180000\text{ km}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^8\text{ m}$:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1200\cdot {1350}^2=\mathrm{1,094}\cdot {10}^9\text{ J}$

$E_p=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,3}\cdot {10}^{24}\cdot 1200}{\mathrm{1,8}\cdot {10}^8}}=-\mathrm{2,803}\cdot {10}^9\text{ J}$

$E=\mathrm{1,094}\cdot {10}^9-\mathrm{2,803}\cdot {10}^9=-\mathrm{1,71}\cdot {10}^9\text{ J}$

La energía mecánica es negativa, así que la sonda no podrá escapar: está ligada al planeta y acabará frenándose, volviendo a caer.

Se llega a lo mismo comparando con la velocidad de escape a esa distancia:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,3}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{1,8}\cdot {10}^8}}}=\mathrm{2,16}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

y $1350\text{ m/s}<2160\text{ m/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mov}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2,35}}\mathbf{\text{km/s.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La sonda se aleja, de modo que iba más deprisa cuando estaba más cerca. Se aplica la conservación de la energía mecánica entre las dos posiciones:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^{\mathrm{\prime }2}-G{\displaystyle \frac{Mm}{r^{\mathrm{\prime }}}}=E$

Se despeja la distancia:

$r^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{GMm}{\frac{1}{2}m{v}^{\mathrm{\prime }2}-E}}$

Se sustituyen los valores, con $v^{\mathrm{\prime }}=2350\text{ m/s}$:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^{\mathrm{\prime }2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1200\cdot {2350}^2=\mathrm{3,314}\cdot {10}^9\text{ J}$

$GMm=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,3}\cdot {10}^{24}\cdot 1200=\mathrm{5,046}\cdot {10}^{17}$

$r^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,046}\cdot {10}^{17}}{\mathrm{3,314}\cdot {10}^9+\mathrm{1,71}\cdot {10}^9}}=\mathrm{1,00}\cdot {10}^8\text{ m}$

La sonda se movía a 2,35 km/s cuando estaba a $\mathrm{1,00}\cdot {10}^5\text{ km}$ del centro del planeta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{astron}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{micas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vaya}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2,35}}\mathbf{\text{km/s,}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora la situación es distinta: no se trata de un movimiento radial, sino de una órbita circular. En ella la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y esa condición liga la velocidad al radio:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$

Se despeja el radio:

$r={\displaystyle \frac{GM}{v^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,3}\cdot {10}^{24}}{{2350}^2}}=\mathrm{7,61}\cdot {10}^7\text{ m}$

Y se pasa a unidades astronómicas:

$r={\displaystyle \frac{\mathrm{7,61}\cdot {10}^7}{\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}}}=\mathrm{5,09}\cdot {10}^{-4}\text{ ua}$

El radio de esa órbita circular es de $\mathrm{5,09}\cdot {10}^{-4}\text{ ua}$. Conviene subrayar que este cálculo no usa la conservación de la energía, sino la dinámica del movimiento circular: en una órbita, velocidad y radio no son independientes.