Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2025

Tres hilos conductores rectos, paralelos entre sí y muy largos, están situados en un plano como muestra la figura. Las intensidades de las corrientes que llevan los hilos son, en valor absoluto, $I_1=9\text{ A}$, $I_2=7\text{ A}$ e $I_3=4\text{ A}$. Los sentidos de las corrientes $I_1$ e $I_3$ son hacia arriba. Determine:



a) La intensidad, la dirección y el sentido de la fuerza magnética por unidad de longitud sobre el tercer hilo a causa del primero. [0,7 puntos]

b) El módulo de la intensidad $I_2$ cuando la fuerza magnética a causa de las corrientes de los hilos 1 y 3 sobre el segundo hilo es de 0,7 mN/m. [0,8 puntos]

Responda c1 o c2.

c1) Se establecen corrientes de 20 A hacia arriba en los tres hilos. Cuatro partículas con cargas eléctricas de 36 nC cada una pasan por los puntos ${\text{P}}_1$, ${\text{P}}_2$, ${\text{P}}_3$ y ${\text{P}}_4$ con una velocidad de 50 km/s con las direcciones y los sentidos que marcan las flechas y los símbolos de la figura. Determine la intensidad, la dirección y el sentido de la fuerza magnética sobre cada partícula. [1 punto]

c2) Cesan las corrientes $I_1$ e $I_2$ y la corriente $I_3$ es alterna, de manera que el campo magnético en mT en el punto ${\text{P}}_1$ vale $60\cos (70t+\mathrm{0,8}\text{ rad})$ cuando el tiempo se da en segundos.

i) Calcule la fuerza electromotriz en $t=\mathrm{0,1}\text{ s}$ que causaría un campo uniforme en el espacio con esta intensidad en una espira circular de 5 mm de radio cuando un diámetro de la espira es paralelo al campo.

ii) Repita el cálculo cuando el diámetro es perpendicular al campo. [1 punto]

Datos: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{N A}}^{-2}$; el módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por el que circula una corriente $I$ a una distancia $r$ del hilo es $B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$; la fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos separados una distancia $d$ es ${\displaystyle \frac{F}{L}}={\mu }_0{\displaystyle \frac{I_1{I}_2}{2\pi d}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{intensidad,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{unidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{hilo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{causa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{primero.}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El hilo 1 crea en la posición del hilo 3 un campo magnético perpendicular al plano de la figura. Con la regla de la mano derecha, y como $I_1$ va hacia arriba, ese campo es entrante a la derecha del hilo 1.

La distancia entre los hilos 1 y 3 es la suma de las cuatro cotas:

$d_{13}=3+3+2+2=10\text{ mm}={10}^{-2}\text{ m}$





La fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos es la que da el enunciado:

${\displaystyle \frac{F}{L}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0}{2\pi }}{\displaystyle \frac{I_1{I}_3}{d_{13}}}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

${\displaystyle \frac{F}{L}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}}{2\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{9\cdot 4}{{10}^{-2}}}=\mathrm{7,2}\cdot {10}^{-4}\text{ N/m}$

La fuerza sobre el tercer hilo vale $\mathrm{0,72}\text{ mN/m}$, está contenida en el plano de la figura, es perpendicular a los hilos y apunta hacia el hilo 1: las corrientes tienen el mismo sentido y dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen.



El hilo 2 está entre los otros dos, a $d_{12}=6\text{ mm}$ del primero y a $d_{23}=4\text{ mm}$ del tercero. Los hilos 1 y 3 llevan corrientes del mismo sentido, de manera que uno tira del hilo 2 hacia la izquierda y el otro hacia la derecha: las dos fuerzas son opuestas y la resultante es su diferencia.

${\displaystyle \frac{F}{L}}=\mid {\displaystyle \frac{{\mu }_0}{2\pi }}{\displaystyle \frac{I_1{I}_2}{d_{12}}}-{\displaystyle \frac{{\mu }_0}{2\pi }}{\displaystyle \frac{I_3{I}_2}{d_{23}}}\mid ={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi }}\mid {\displaystyle \frac{I_1}{d_{12}}}-{\displaystyle \frac{I_3}{d_{23}}}\mid$

Se evalúa el corchete:

${\displaystyle \frac{I_1}{d_{12}}}-{\displaystyle \frac{I_3}{d_{23}}}={\displaystyle \frac{9}{6\cdot {10}^{-3}}}-{\displaystyle \frac{4}{4\cdot {10}^{-3}}}=1500-1000=500\text{ A/m}$

Y se despeja la intensidad:

$I_2={\displaystyle \frac{2\pi }{{\mu }_0}}\cdot {\displaystyle \frac{F\mathrm{/}L}{500}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}\cdot {10}^{-3}}{2\cdot {10}^{-7}\cdot 500}}=7\text{ A}$

El módulo de la intensidad es $I_2=7\text{ A}$, en concordancia con el dato del enunciado. Obsérvese que el resultado no depende del sentido de $I_2$: al invertirlo se invierten las dos fuerzas a la vez y el módulo de la resultante no cambia.

$\mathbf{\text{c1)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{establecen}}\mathbf{\text{corrientes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{arriba}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{hilos.}}\mathbf{\text{Cuatro}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culas}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctricas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{36}}\mathbf{\text{nC}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pasan}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathrm{<msub><mtext>P</mtext><mn\; mathvariant="bold">1</mn></msub>}\mathbf{\text{,}}\mathrm{<msub><mtext>P</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msub>}\mathbf{\text{,}}\mathrm{<msub><mtext>P</mtext><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msub>}\mathbf{\text{y}}\mathrm{<msub><mtext>P</mtext><mn\; mathvariant="bold">4</mn></msub>}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{km/s}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{direcciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sentidos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{marcan}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{flechas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mbolos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Se calcula primero el campo total en cada vertical. Se toma el eje $X$ hacia la derecha, el eje $Y$ hacia arriba y el eje $Z$ saliente del papel.

Con la regla de la mano derecha, un hilo con la corriente hacia arriba crea un campo entrante a su derecha y saliente a su izquierda.





Los puntos ${\text{P}}_1$ y ${\text{P}}_2$ están a 3 mm del hilo 1 y a 3 mm del hilo 2. Como las tres corrientes son iguales, esos dos campos tienen el mismo módulo y sentidos opuestos, y se cancelan. Solo queda el del hilo 3, que está a 7 mm y es saliente:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 20}{2\pi \cdot 7\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{5,71}\cdot {10}^{-4}\text{ T}$

${\vec{B}}_{1,2}=+\mathrm{5,71}\cdot {10}^{-4}\vec{k}\text{ T}$

Los puntos ${\text{P}}_3$ y ${\text{P}}_4$ están a 2 mm del hilo 2 y a 2 mm del hilo 3, y por la misma razón esos dos campos se cancelan. Solo queda el del hilo 1, que está a 8 mm y es entrante:

$B={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 20}{2\pi \cdot 8\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{5,0}\cdot {10}^{-4}\text{ T}$

${\vec{B}}_{3,4}=-\mathrm{5,0}\cdot {10}^{-4}\vec{k}\text{ T}$

La fuerza sobre una carga en movimiento es $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$. Para la partícula que pasa por ${\text{P}}_1$, con la velocidad hacia la izquierda:

${\vec{F}}_1=q(-v\vec{\mathrm{ı}})\times (B\vec{k})=-qvB(\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{k})=+qvB\vec{\mathrm{ȷ}}$

$F_1=36\cdot {10}^{-9}\cdot 5\cdot {10}^4\cdot \mathrm{5,71}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{1,03}\cdot {10}^{-6}\text{ N}$

La fuerza sobre la primera partícula vale $\mathrm{1,03}\mu \text{N}$, está contenida en el plano de la figura, es perpendicular a los hilos y apunta hacia arriba.

Para la partícula que pasa por ${\text{P}}_2$ la velocidad es la opuesta, de modo que la fuerza también lo es:

${\vec{F}}_2=-\mathrm{1,03}\cdot {10}^{-6}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N}$

Vale $\mathrm{1,03}\mu \text{N}$ y apunta hacia abajo.

Las partículas que pasan por ${\text{P}}_3$ y ${\text{P}}_4$ se mueven perpendicularmente al papel, es decir, en la misma dirección que el campo magnético que hay en esa vertical. El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo:

${\vec{F}}_3={\vec{F}}_4=q(\pm v\vec{k})\times (-B\vec{k})=\vec{0}$

Sobre esas dos partículas no actúa fuerza magnética alguna.



Por la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo magnético cambiada de signo:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}},\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS\cos \alpha$

i) Si un diámetro de la espira es paralelo al campo, el campo está contenido en el plano de la espira y es perpendicular al vector superficie:

$\alpha ={90}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{\Phi }=0\text{ Wb en todo instante}$

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=0\text{ V}$

No se induce fuerza electromotriz alguna: el flujo es nulo siempre, por mucho que el campo varíe.

ii) Si el diámetro es perpendicular al campo, el campo es perpendicular al plano de la espira y paralelo al vector superficie, de modo que el flujo es máximo:

$\mathrm{\Phi }=B(t)S,S=\pi R^2=\pi (5\cdot {10}^{-3}{)}^2=\mathrm{7,854}\cdot {10}^{-5}{\text{m}}^2$

$\mathrm{\Phi }(t)=60\cdot {10}^{-3}\cos (70t+\mathrm{0,8})\cdot \mathrm{7,854}\cdot {10}^{-5}\text{ Wb}$

Se deriva respecto del tiempo:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=S{B}_0\omega \sin (70t+\mathrm{0,8})$

$\epsilon =\mathrm{7,854}\cdot {10}^{-5}\cdot 60\cdot {10}^{-3}\cdot 70\cdot \sin (70t+\mathrm{0,8})$

$\epsilon =\mathrm{3,30}\cdot {10}^{-4}\sin (70t+\mathrm{0,8})\text{ V}$

Y en el instante pedido, con el argumento en radianes:

$\epsilon (\mathrm{0,1})=\mathrm{3,30}\cdot {10}^{-4}\cdot \sin (\mathrm{7,8})=\mathrm{3,29}\cdot {10}^{-4}\text{ V}$

La fuerza electromotriz inducida en ese instante es de $\mathrm{0,33}\text{ mV}$.