Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Tenemos tres urnas: la primera contiene 2 bolas azules; la segunda, 1 bola azul y 1 roja; la tercera, 2 bolas rojas. Hacemos el experimento aleatorio

«Elegimos una urna al azar y extraemos una bola»

Suponga que todas las urnas tienen la misma probabilidad de ser escogidas.

a) Calcule la probabilidad del suceso $R =$ «bola extraída roja». [5 puntos]

b) Si la bola extraída resulta que es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la urna escogida haya sido la tercera? [5 puntos]

Nombramos las urnas $U_1$, $U_2$ y $U_3$ y llamamos $R$ al suceso «la bola extraída es roja». Como las tres urnas son equiprobables, cada una se escoge con probabilidad $\frac{1}{3}$; la primera solo tiene bolas azules y la tercera solo rojas.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad del suceso } \boldsymbol{R = }\textbf{ «bola extraída roja». [5 puntos]}$

El suceso se alcanza por varios caminos del árbol, uno por urna, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(U_1)P(R|U_1)+P(U_2)P(R|U_2)+P(U_3)P(R|U_3)$

$P(R)=\dfrac{1}{3}\cdot 0+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot 1$

$P(R)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$

La probabilidad de extraer una bola roja es $\dfrac{1}{2}$. Era previsible por simetría: entre las tres urnas hay tres bolas rojas y tres azules, y todas las bolas acaban siendo igual de accesibles.

$\textbf{b) Si la bola extraída resulta que es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la urna escogida haya sido la tercera? [5 puntos]}$

Se pide invertir el condicionamiento del árbol, así que aplicamos el teorema de Bayes con el resultado anterior.

$P(U_3|R)=\dfrac{P(U_3)\cdot P(R|U_3)}{P(R)}=\dfrac{\frac{1}{3}\cdot 1}{\frac{1}{2}}$

$P(U_3|R)=\dfrac{1}{3}\cdot 2=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$

Sabiendo que la bola extraída es roja, la probabilidad de que proceda de la tercera urna es $\dfrac{2}{3}$: de las tres bolas rojas del experimento, dos están en esa urna.