Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Una empresa de fabricación de impresoras tiene dos centros de producción, la fábrica europea (E) y la fábrica asiática (A). El 1 % de las impresoras de la fábrica E y el 3 % de las impresoras de la fábrica A se producen con un defecto. El mercado de un determinado país se abastece de impresoras procedentes de la fábrica E en un 80 %, mientras que el resto proviene de la fábrica A.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una impresora de ese país tenga el defecto? [4 puntos]

b) Si el país tiene, aproximadamente, dos millones de impresoras fabricadas por esta empresa, ¿cuántas tendrán el defecto? [2 puntos]

c) Si se escoge al azar una impresora de ese país y resulta ser una impresora defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica E? [4 puntos]

Nombramos los sucesos:

$E\equiv$ la impresora procede de la fábrica europea

$D\equiv$ la impresora tiene el defecto

Del enunciado, $P(E)=0{,}80$, $P(A)=P(\overline{E})=0{,}20$, $P(D|E)=0{,}01$ y $P(D|\overline{E})=0{,}03$.



$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que una impresora de ese país tenga el defecto? [4 puntos]}$

El defecto se alcanza por dos caminos del árbol, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(D)=P(E)\cdot P(D|E)+P(\overline{E})\cdot P(D|\overline{E})$

$P(D)=0{,}80\cdot 0{,}01+0{,}20\cdot 0{,}03=0{,}008+0{,}006=0{,}014$

La probabilidad de que una impresora tenga el defecto es $0{,}014$, es decir, un $1{,}4\%$.

$\textbf{b) Si el país tiene, aproximadamente, dos millones de impresoras fabricadas por esta empresa, ¿cuántas tendrán el defecto? [2 puntos]}$

Basta multiplicar la probabilidad anterior por el número total de impresoras.

$2\,000\,000\cdot 0{,}014=28\,000$

Cabe esperar unas 28 000 impresoras defectuosas.

$\textbf{c) Si se escoge al azar una impresora de ese país y resulta ser una impresora defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica E? [4 puntos]}$

Se pide invertir el condicionamiento del árbol, de modo que aplicamos el teorema de Bayes con el resultado del apartado a).

$P(E|D)=\dfrac{P(E)\cdot P(D|E)}{P(D)}=\dfrac{0{,}008}{0{,}014}$

$P(E|D)=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$

Sabiendo que la impresora es defectuosa, la probabilidad de que proceda de la fábrica europea es $\dfrac{4}{7}\approx 0{,}57$: aunque esa fábrica tiene menos defectos, aporta tanto volumen que más de la mitad de las impresoras defectuosas salen de ella.